数学3 その他応用 問題 29 解説

方針・初手

積分の中で $t$ は定数であるから、まず $t$ に関する式として整理する。

(1) は一次式、(2) は二次式になるので、(2) では平方完成によって最小値を求める。

解法1

まず

$$ f(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi (t-\sin x),dx $$

を計算する。$t$ は $x$ に関する定数であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi (t-\sin x),dx &= \int_0^\pi t,dx-\int_0^\pi \sin x,dx \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \int_0^\pi t,dx=\pi t $$

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \sin x,dx &= [-\cos x]_0^\pi \\ -\cos\pi+\cos0 \\ 1+1 \\ 2 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} f(t)=\frac{1}{\pi}(\pi t-2) &= t-\frac{2}{\pi} \end{aligned} $$

となる。

よって、$f(t)=0$ より

$$ t-\frac{2}{\pi}=0 $$

であるから、

$$ t=\frac{2}{\pi} $$

を得る。

次に、

$$ g(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi (t-\sin x)^2,dx $$

を計算する。被積分関数を展開すると、

$$ (t-\sin x)^2=t^2-2t\sin x+\sin^2x $$

であるから、

$$ \begin{aligned} g(t) &= \frac{1}{\pi} \left( \int_0^\pi t^2,dx -2t\int_0^\pi \sin x,dx +\int_0^\pi \sin^2x,dx \right) \end{aligned} $$

となる。

それぞれの積分は

$$ \int_0^\pi t^2,dx=\pi t^2 $$

$$ \int_0^\pi \sin x,dx=2 $$

である。また、

$$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \sin^2x,dx &= \int_0^\pi \frac{1-\cos2x}{2},dx \\ \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} g(t) &= \frac{1}{\pi} \left( \pi t^2-4t+\frac{\pi}{2} \right) \end{aligned} $$

すなわち、

$$ g(t)=t^2-\frac{4}{\pi}t+\frac{1}{2} $$

となる。

これを平方完成すると、

$$ \begin{aligned} g(t) &= \left(t-\frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{1}{2} &= \frac{4}{\pi^2} \end{aligned} $$

である。

$t$ は実数であり、

$$ \left(t-\frac{2}{\pi}\right)^2\geqq 0 $$

だから、$g(t)$ は

$$ t=\frac{2}{\pi} $$

のとき最小となる。

よって、最小値は

$$ \frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2} $$

である。

解説

(1) は $\sin x$ の $0\leqq x\leqq \pi$ における平均値を求める問題である。実際、

$$ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x,dx=\frac{2}{\pi} $$

なので、$f(t)=0$ は $t$ がこの平均値に等しいことを意味する。

(2) は $(t-\sin x)^2$ の平均を最小にする問題である。これは $\sin x$ を定数 $t$ で近似したときの二乗誤差平均を最小にする問題であり、最小となる $t$ は平均値 $2/\pi$ である。

計算上は、$g(t)$ を $t$ の二次式として整理し、平方完成するのが最も確実である。

答え

(1)

$$ t=\frac{2}{\pi} $$

(2)

$$ \min g(t)=\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2} $$