数学3 その他応用 問題 28 解説

方針・初手

$f(a)$ は $a$ についての2次関数である。積分を展開し、$a$ の2次式として整理してから平方完成すれば最小値をとる $a$ が求められる。

解法1

与えられた関数は

$$ f(a)=\int_0^\pi (x-a\sin x)^2,dx $$

である。まず被積分関数を展開する。

$$ (x-a\sin x)^2=x^2-2ax\sin x+a^2\sin^2 x $$

したがって

$$ f(a)=\int_0^\pi x^2,dx-2a\int_0^\pi x\sin x,dx+a^2\int_0^\pi \sin^2 x,dx $$

である。

各積分を計算する。まず

$$ \int_0^\pi x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^\pi=\frac{\pi^3}{3} $$

である。

次に、部分積分より

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\sin x,dx &= \left[-x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi \cos x,dx \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \left[-x\cos x\right]_0^\pi &= -\pi\cos\pi-0 \\ \pi \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \cos x,dx &= [\sin x]_0^\pi \\ 0 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \int_0^\pi x\sin x,dx=\pi $$

である。

さらに

$$ \int_0^\pi \sin^2 x,dx=\frac{\pi}{2} $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} f(a) &= \frac{\pi^3}{3}-2\pi a+\frac{\pi}{2}a^2 \end{aligned} $$

となる。これは $a$ についての2次関数であり、$a^2$ の係数 $\frac{\pi}{2}$ は正であるから、頂点で最小値をとる。

平方完成すると、

$$ \begin{aligned} f(a) &= \frac{\pi}{2}a^2-2\pi a+\frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2}(a^2-4a)+\frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2}{(a-2)^2-4}+\frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2}(a-2)^2+\frac{\pi^3}{3}-2\pi \end{aligned} $$

したがって、$f(a)$ が最小となるのは

$$ a=2 $$

のときである。

解法2

微分によって求める。

すでに展開して

$$ f(a)=\frac{\pi^3}{3}-2\pi a+\frac{\pi}{2}a^2 $$

である。

これを $a$ で微分すると、

$$ f'(a)=-2\pi+\pi a $$

である。最小となる候補は $f'(a)=0$ を満たすから、

$$ -2\pi+\pi a=0 $$

より

$$ a=2 $$

である。

また、

$$ f''(a)=\pi>0 $$

であるから、このとき確かに $f(a)$ は最小となる。

よって、求める値は

$$ a=2 $$

である。

解説

この問題の本質は、積分で定義された関数を $a$ についての2次関数と見ることである。

被積分関数に $a$ が含まれているため複雑に見えるが、積分区間は固定されているので、展開すれば

$$ f(a)=Aa^2+Ba+C $$

の形になる。あとは平方完成または微分で最小となる $a$ を求めればよい。

特に重要なのは

$$ \int_0^\pi x\sin x,dx=\pi $$

と

$$ \int_0^\pi \sin^2 x,dx=\frac{\pi}{2} $$

の計算である。前者は部分積分、後者は半角公式または既知の積分公式で処理する。

答え

$$ a=2 $$