数学3 体積 問題 1 解説

方針・初手

$x$ を固定すると，不等式 $|x+y|\le \sin x$ は $y$ の範囲を表す。

したがって，まず各 $x\in[0,\pi]$ に対して断面の上下端を求め，その線分を $x$ 軸のまわりに回転したときの断面積を求めて積分すればよい。

解法1

不等式 $|x+y|\le \sin x$ は

$$ -\sin x\le x+y\le \sin x $$

と同値であるから，

$$ -x-\sin x\le y\le -x+\sin x $$

となる。

よって，$x$ を固定したときの図形の縦の切り口は，$y=-x$ を中心とする長さ $2\sin x$ の線分である。

ここで $0\le x\le \pi$ では $\sin x\le x$ が成り立つので，

$$ -x+\sin x\le 0 $$

である。したがって，この線分は $x$ 軸の下側にあり，これを $x$ 軸のまわりに回転すると中空の円板（ワッシャー）になる。

外半径 $R$，内半径 $r$ はそれぞれ

$$ R=x+\sin x,\qquad r=x-\sin x $$

であるから，断面積 $S(x)$ は

$$ S(x)=\pi\left\{(x+\sin x)^2-(x-\sin x)^2\right\} $$

となる。展開すると

$$ S(x)=\pi\cdot 4x\sin x=4\pi x\sin x $$

である。

したがって体積 $V$ は

$$ V=\int_0^\pi 4\pi x\sin x,dx $$

である。

ここで

$$ \int x\sin x,dx=-x\cos x+\sin x $$

より，

$$ V=4\pi\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^\pi $$

となる。これを計算すると

$$ V=4\pi\left\{-\pi\cos\pi+\sin\pi-(0+\sin0)\right\} $$

$$ =4\pi(\pi)=4\pi^2 $$

である。

解説

この問題の要点は，絶対値不等式をそのまま回転体として眺めるのではなく，まず $y$ の範囲に直すことである。

すると各 $x$ に対して

$$ -x-\sin x\le y\le -x+\sin x $$

という縦の線分になり，それが $x$ 軸の下側にあることから，回転後の断面がワッシャーになると分かる。外半径と内半径を正しく読み取れれば，あとは定積分の計算だけである。

また，$\sin x\le x$ を使って断面が $x$ 軸をまたがないことを確認するのが重要である。

答え

求める体積は

$$ 4\pi^2 $$

である。