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数学3 体積問題 2 解説

方針・初手

まず曲線 $y=x^2-2x$ と直線 $y=x$ の交点を求め、図形 $A$ の $x$ の範囲を決める。

回転体の体積では、$x$ 軸回転は図形が $x$ 軸をまたぐため場合分けが必要である。一方、$y$ 軸回転は円筒殻法を使うと簡潔に求まる。

最後の $y=x$ の周りの回転では、回転軸に平行な線 $x-y=c$ で切る円筒殻法を用いる。

解法1

曲線 $y=x^2-2x$ と直線 $y=x$ の交点は

$$ x^2-2x=x $$

より

$$ x^2-3x=0 $$

したがって

$$ x=0,\ 3 $$

である。

$0\leqq x\leqq 3$ において

$$ x-(x^2-2x)=3x-x^2=x(3-x)\geqq 0 $$

なので、上側が直線 $y=x$、下側が曲線 $y=x^2-2x$ である。

(1)

面積 $S$ は

$$ S=\int_0^3{x-(x^2-2x)},dx $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^3(3x-x^2),dx\\ &=\left[\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^3\\ &=\frac{27}{2}-9\\ &=\frac{9}{2} \end{aligned} $$

である。

(2)

図形 $A$ を $x$ 軸の周りに回転する。

下側の曲線を

$$ g(x)=x^2-2x $$

とおく。$0\leqq x\leqq 2$ では $g(x)\leqq 0$ であり、図形は $x$ 軸をまたぐ。

このとき、断面は単純な円環ではなく、半径が $x$ と $-g(x)$ の大きい方で決まる円板になる。

$$ -g(x)=2x-x^2 $$

であり、

$$ 2x-x^2\geqq x $$

は

$$ x(1-x)\geqq 0 $$

と同値なので、$0\leqq x\leqq 1$ で成り立つ。

したがって、断面積は次のように分けられる。

$$ \begin{cases} \pi(2x-x^2)^2 & (0\leqq x\leqq 1)\\ \pi x^2 & (1\leqq x\leqq 2)\\ \pi{x^2-(x^2-2x)^2} & (2\leqq x\leqq 3) \end{cases} $$

よって体積 $V$ は

$$ V=\pi\left\{\int_0^1(2x-x^2)^2,dx+\int_1^2x^2,dx+\int_2^3\left(x^2-(x^2-2x)^2\right),dx\right\} $$

である。

それぞれ計算すると

$$ \int_0^1(2x-x^2)^2,dx=\frac{8}{15} $$

$$ \int_1^2x^2,dx=\frac{7}{3} $$

$$ \int_2^3\left(x^2-(x^2-2x)^2\right),dx=\frac{19}{5} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left(\frac{8}{15}+\frac{7}{3}+\frac{19}{5}\right)\\ &=\pi\cdot \frac{100}{15}\\ &=\frac{20\pi}{3} \end{aligned} $$

である。

(3)

図形 $A$ を $y$ 軸の周りに回転する。

円筒殻法を用いると、半径は $x$、高さは

$$ x-(x^2-2x)=3x-x^2 $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} W &=2\pi\int_0^3 x(3x-x^2),dx\\ &=2\pi\int_0^3(3x^2-x^3),dx\\ &=2\pi\left[x^3-\frac{1}{4}x^4\right]_0^3\\ &=2\pi\left(27-\frac{81}{4}\right)\\ &=2\pi\cdot \frac{27}{4}\\ &=\frac{27\pi}{2} \end{aligned} $$

である。

(4)

直線 $y=x$、直線 $y=-x$、曲線 $y=x^2-2x$ で囲まれる部分を考える。

交点は、まず $y=x$ と曲線について

$$ x^2-2x=x $$

より

$$ x=0,\ 3 $$

である。

また、$y=-x$ と曲線について

$$ x^2-2x=-x $$

より

$$ x^2-x=0 $$

したがって

$$ x=0,\ 1 $$

である。

よって囲まれる部分は、境界として直線 $y=x$、直線 $y=-x$ の $0\leqq x\leqq 1$ の部分、曲線 $y=x^2-2x$ の $1\leqq x\leqq 3$ の部分をもつ。

ここで、回転軸 $y=x$ に平行な直線

$$ x-y=c $$

で切る。回転軸 $y=x$ は $c=0$ に対応し、この直線と回転軸との距離は

$$ \frac{c}{\sqrt{2}} $$

である。

また、$c$ が $dc$ だけ増えると、平行線どうしの距離は

$$ \frac{dc}{\sqrt{2}} $$

である。

したがって、$x-y=c$ 上で図形に含まれる線分の長さを $L(c)$ とすると、薄い円筒殻の体積は

$$ 2\pi\cdot \frac{c}{\sqrt{2}}\cdot L(c)\cdot \frac{dc}{\sqrt{2}} =\pi cL(c),dc $$

である。

次に $L(c)$ を求める。

直線 $x-y=c$ と曲線 $y=x^2-2x$ の交点は

$$ x-(x^2-2x)=c $$

すなわち

$$ x^2-3x+c=0 $$

より

$$ x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2} $$

である。

曲線上で

$$ c=x-y=x-(x^2-2x)=3x-x^2 $$

となるので、最大値は $x=\frac{3}{2}$ のとき

$$ c=\frac{9}{4} $$

である。

(i)

$0\leqq c\leqq 2$ のとき

左端は直線 $y=-x$ 上にある。$x-y=c$ と $y=-x$ から

$$ x-(-x)=c $$

より

$$ x=\frac{c}{2} $$

である。

右端は曲線上の右側の交点なので

$$ x=\frac{3+\sqrt{9-4c}}{2} $$

である。

直線 $x-y=c$ は傾き $1$ の直線だから、$x$ 座標の差が $\Delta x$ であれば線分の長さは $\sqrt{2}\Delta x$ である。よって

$$ L(c)=\sqrt{2}\left(\frac{3+\sqrt{9-4c}}{2}-\frac{c}{2}\right) $$

すなわち

$$ L(c)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(3+\sqrt{9-4c}-c\right) $$

である。

(ii)

$2\leqq c\leqq \frac{9}{4}$ のとき

両端はどちらも曲線上にある。したがって、$x$ 座標の差は

$$ \frac{3+\sqrt{9-4c}}{2}-\frac{3-\sqrt{9-4c}}{2} =\sqrt{9-4c} $$

である。

よって

$$ L(c)=\sqrt{2}\sqrt{9-4c} $$

である。

以上より、求める体積 $Z$ は

$$ Z=\pi\left\{\int_0^2 c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(3+\sqrt{9-4c}-c\right),dc+\int_2^{9/4}c\cdot \sqrt{2}\sqrt{9-4c},dc\right\} $$

である。

これを計算すると

$$ \int_0^2 c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(3+\sqrt{9-4c}-c\right),dc =\frac{211\sqrt{2}}{60} $$

また

$$ \int_2^{9/4}c\cdot \sqrt{2}\sqrt{9-4c},dc =\frac{7\sqrt{2}}{20} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} Z &=\pi\left(\frac{211\sqrt{2}}{60}+\frac{7\sqrt{2}}{20}\right)\\ &=\pi\left(\frac{211\sqrt{2}}{60}+\frac{21\sqrt{2}}{60}\right)\\ &=\frac{232\sqrt{2}\pi}{60}\\ &=\frac{58\sqrt{2}\pi}{15} \end{aligned} $$

である。