数学3 体積 問題 4 解説

方針・初手

曲線上の点 $P=(x,y)$ における接線の傾きを $y'=\dfrac{dy}{dx}$ とおく。すると法線の傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ であるから、法線の $x$ 切片と $y$ 切片をそれぞれ $Q,R$ の座標で表せる。

あとは「$P$ が線分 $QR$ を $4:9$ に内分する」という条件を座標で書けば、$x,y,y'$ の関係、すなわち微分方程式が得られる。

解法1

点 $P=(x,y)$ における接線の傾きを $y'=\dfrac{dy}{dx}$ とする。

このとき、法線の方程式は

$$ Y-y=-\frac{1}{y'}(X-x) $$

である。

（1） 微分方程式

法線と $x$ 軸との交点を $Q$、$y$ 軸との交点を $R$ とする。

まず、$Q$ は $Y=0$ を満たすから、

$$ -y=-\frac{1}{y'}(X-x) $$

より

$$ X=x+yy' $$

となる。したがって

$$ Q=(x+yy',0) $$

である。

次に、$R$ は $X=0$ を満たすから、

$$ Y-y=-\frac{1}{y'}(-x)=\frac{x}{y'} $$

より

$$ R=\left(0,y+\frac{x}{y'}\right) $$

である。

ここで、$P$ が線分 $QR$ を $4:9$ に内分するとは

$$ QP:PR=4:9 $$

ということであるから、内分点の公式より

$$ P=\frac{9Q+4R}{13} $$

である。

$x$ 座標を比較すると

$$ x=\frac{9(x+yy')}{13} $$

ゆえに

$$ 13x=9x+9yy' $$

$$ 4x=9yy' $$

したがって、曲線 $C$ の満たす微分方程式は

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y} $$

である。

（2） 曲線 $C$ の方程式

（1） の微分方程式

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y} $$

を解く。

$$ 9y,dy=4x,dx $$

となるから、両辺を積分して

$$ \frac{9}{2}y^2=2x^2+C $$

すなわち

$$ 9y^2-4x^2=C $$

を得る。

曲線 $C$ は点 $(3,0)$ を通るので、

$$ 9\cdot 0^2-4\cdot 3^2=C $$

より

$$ C=-36 $$

である。

よって、求める曲線の方程式は

$$ 9y^2-4x^2=-36 $$

すなわち

$$ 4x^2-9y^2=36 $$

である。

さらに $y\geqq 0$ より、第一象限にある部分は

$$ y=\frac{2}{3}\sqrt{x^2-9}\qquad (x\geqq 3) $$

である。

（3） 回転体の体積

（2） で得た曲線は $x$ 軸と $(3,0)$ で交わるから、曲線 $C$、直線 $x=6$、および $x$ 軸で囲まれる部分は、$x=3$ から $x=6$ までの曲線の下側の部分である。

これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V$ とすると、円板法により

$$ V=\pi\int_3^6 y^2,dx $$

である。

ここで

$$ y^2=\frac{4}{9}(x^2-9) $$

であるから、

$$ V=\pi\int_3^6 \frac{4}{9}(x^2-9),dx $$

$$ =\frac{4\pi}{9}\left[\frac{x^3}{3}-9x\right]_3^6 $$

$$ =\frac{4\pi}{9}\left\{\left(\frac{216}{3}-54\right)-\left(\frac{27}{3}-27\right)\right\} $$

$$ =\frac{4\pi}{9}(18-(-18)) $$

$$ =\frac{4\pi}{9}\cdot 36 $$

$$ =16\pi $$

したがって、求める体積は

$$ 16\pi $$

である。

解説

この問題の要点は、法線に関する幾何条件を微分方程式に翻訳することである。接線の傾きを $y'$ とおけば、法線の傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ となるので、法線の軸との交点を具体的に求められる。

そのうえで、$P$ が $QR$ を $4:9$ に内分するという条件を座標で処理すれば、$x,y,y'$ の関係式が得られる。以後は変数分離型微分方程式を解き、最後は回転体の体積公式

$$ V=\pi\int y^2,dx $$

を用いるだけである。

答え

(1)

曲線 $C$ の満たす微分方程式は

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y} $$

である。

(2)

曲線 $C$ の方程式は

$$ 4x^2-9y^2=36 $$

すなわち

$$ y=\frac{2}{3}\sqrt{x^2-9}\qquad (x\geqq 3) $$

である。

(3)

求める立体の体積は

$$ 16\pi $$

である。