数学3 体積 問題 5 解説

方針・初手

$n$ は $0$ 以上の偶数であるから、区間 $n\pi \leqq x \leqq (n+1)\pi$ では $\sin x \geqq 0$ である。したがって

$$ x-\sin x \leqq x $$

が成り立ち、求める部分 $A$ は 上側が $y=x$、下側が $y=x-\sin x$ の図形である。

よって、$x$ 軸回転では円環の断面積を積分し、$y$ 軸回転では円筒殻の方法を用いるのが自然である。

解法1

まず、領域 $A$ は

$$ n\pi \leqq x \leqq (n+1)\pi,\qquad x-\sin x \leqq y \leqq x $$

で表される。

$x$ 軸の周りに回転する場合

各 $x$ における断面は、外半径が $x$、内半径が $x-\sin x$ の円環である。したがって体積 $V_x$ は

$$ V_x=\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left\{x^2-(x-\sin x)^2\right\},dx $$

である。

これを整理すると

$$ V_x=\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left(2x\sin x-\sin^2 x\right),dx $$

となる。

まず

$$ \int 2x\sin x,dx=-2x\cos x+2\sin x $$

であるから、

$$ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}2x\sin x,dx =\left[-2x\cos x+2\sin x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} $$

$n$ は偶数なので

$$ \cos(n\pi)=1,\qquad \cos((n+1)\pi)=-1,\qquad \sin(n\pi)=\sin((n+1)\pi)=0 $$

より、

$$ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}2x\sin x,dx =2(2n+1)\pi $$

を得る。

次に、区間の長さは $\pi$ であるから

$$ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\sin^2 x,dx=\frac{\pi}{2} $$

である。

よって

$$ V_x=\pi\left(2(2n+1)\pi-\frac{\pi}{2}\right) =\pi\cdot \frac{(8n+3)\pi}{2} =\frac{8n+3}{2}\pi^2 $$

となる。

$y$ 軸の周りに回転する場合

このときは円筒殻の方法を用いる。半径は $x$、高さは

$$ x-(x-\sin x)=\sin x $$

であるから、体積 $V_y$ は

$$ V_y=2\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}x\sin x,dx $$

となる。

ここで

$$ \int x\sin x,dx=-x\cos x+\sin x $$

より、

$$ V_y=2\pi\left[-x\cos x+\sin x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} $$

である。

先ほどと同様に

$$ \cos(n\pi)=1,\qquad \cos((n+1)\pi)=-1,\qquad \sin(n\pi)=\sin((n+1)\pi)=0 $$

を用いると、

$$ \left[-x\cos x+\sin x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} =(n+1)\pi+n\pi=(2n+1)\pi $$

したがって

$$ V_y=2\pi\cdot (2n+1)\pi =2(2n+1)\pi^2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$n$ が偶数であることから区間 $[n\pi,(n+1)\pi]$ で $\sin x\geqq 0$ となり、$y=x$ が上、$y=x-\sin x$ が下になると見抜くことである。

$x$ 軸回転では断面が円環になるので「外側の円の面積から内側の円の面積を引く」形になる。一方、$y$ 軸回転では $y$ を消去して積分しようとすると煩雑になるため、半径 $x$、高さ $\sin x$ の円筒殻で処理するのが最も簡潔である。

答え

$x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積は

$$ \frac{8n+3}{2}\pi^2 $$

である。

$y$ 軸の周りに回転してできる立体の体積は

$$ 2(2n+1)\pi^2 $$

である。