数学3 体積 問題 8 解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を $t,(>0)$ とおく。すると、条件「$P$ の位置に関係なく常に $U=2V$」は、すべての $t>0$ に対して成り立つ関係式になる。

まず $U,\ V$ を $t$ と $f(t)$ で表し、その恒等式を微分して $f$ の満たす微分方程式を求めるのが自然である。

解法1

点 $P$ を

$$ P=(t,f(t)) \qquad (t>0) $$

とする。このとき、$Q=(t,0)$ である。

曲線 $C$、$x$ 軸、$y$ 軸、および線分 $PQ$ によって囲まれる部分は、$x=0$ から $x=t$ までの $y=f(x)$ の下側の部分である。これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $U$ は、円板法により

$$ U=\pi \int_0^t {f(x)}^2,dx $$

である。

一方、三角形 $OPQ$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、高さ $t$、底面の半径 $f(t)$ の円錐になるから、その体積 $V$ は

$$ V=\frac{1}{3}\pi {f(t)}^2 t $$

である。

仮定より、すべての $t>0$ に対して

$$ U=2V $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \pi \int_0^t {f(x)}^2,dx &= \frac{2}{3}\pi t{f(t)}^2 \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} \int_0^t {f(x)}^2,dx &= \frac{2}{3}t{f(t)}^2 \qquad (t>0) \end{aligned} $$

を得る。

ここで両辺を $t$ で微分する。左辺は微分積分学の基本定理により ${f(t)}^2$、右辺は積の微分により

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{2}{3}t{f(t)}^2\right) &= \frac{2}{3}\left({f(t)}^2+2t f(t)f'(t)\right) \end{aligned} $$

となるから、

$$ \begin{aligned} {f(t)}^2 &= \frac{2}{3}\left({f(t)}^2+2t f(t)f'(t)\right) \end{aligned} $$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} 3{f(t)}^2 &= 2{f(t)}^2+4t f(t)f'(t) \end{aligned} $$

したがって

$$ {f(t)}^2=4t f(t)f'(t) $$

となる。$f(t)>0$ なので $f(t)$ で割ることができて、

$$ f(t)=4t f'(t) $$

すなわち

$$ \frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{1}{4t} $$

を得る。

これを積分すると、

$$ \log f(t)=\frac{1}{4}\log t + C $$

ゆえに

$$ f(t)=A t^{1/4} \qquad (A>0) $$

である。

条件 $f(1)=1$ を用いると

$$ 1=f(1)=A $$

であるから、

$$ f(t)=t^{1/4} $$

となる。したがって求める関数は

$$ f(x)=x^{1/4}\qquad (x\geqq 0) $$

である。

実際、

$$ f'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}>0 \qquad (x>0) $$

であり、条件 $f'(x)>0$ も満たす。

さらに確認すると、

$$ U=\pi\int_0^t x^{1/2},dx =\frac{2}{3}\pi t^{3/2} $$

$$ V=\frac{1}{3}\pi t\cdot t^{1/2} =\frac{1}{3}\pi t^{3/2} $$

より、確かに常に

$$ U=2V $$

である。

解説

この問題の要点は、幾何的条件を「任意の $t>0$ に対する恒等式」に直すことである。

$U$ は回転体の体積として積分で表され、$V$ は円錐の体積として直接表せる。そこから得られる積分方程式を微分すると、$f$ に関する微分方程式に落ちる。条件 $f(t)>0$ があるため $f(t)$ で割れる点も重要である。

答え

$$ f(x)=x^{1/4}\qquad (x\geqq 0) $$

である。