数学3 体積 問題 10 解説

方針・初手

$y=f(x)$ の下の部分を $y$ 軸のまわりに回転するとき、$x$ を一定にした細い縦長の部分は、半径 $x$、高さ $f(x)$、厚さ $dx$ の円筒殻になる。

したがって、微小体積は

$$ dV=2\pi x f(x)\,dx $$

とみなせるので、これを $x=0$ から $x=1$ まで積分すれば体積が求まる。

解法1

まず

$$ f(x)=\pi x^2\sin(\pi x^2) $$

である。

$0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq \pi x^2\leqq \pi$ であるから、

$$ \sin(\pi x^2)\geqq 0 $$

となり、求める図形は確かに $x$ 軸との間にはさまれた部分として考えられる。

ここで、区間 $[0,1]$ を細かく分け、幅 $\Delta x$ の縦長の小部分を考える。この小部分を $y$ 軸のまわりに回転すると、半径がおよそ $x$、高さがおよそ $f(x)$、厚さ $\Delta x$ の円筒殻ができるから、その体積はおよそ

$$ 2\pi x f(x)\,\Delta x $$

である。

これらを全部足し合わせ、分割を無限に細かくすると、体積 $V$ は

$$ V=2\pi\int_0^1 x f(x)\,dx $$

で与えられる。

あとはこれを計算すればよい。 $f(x)=\pi x^2\sin(\pi x^2)$ を代入すると

$$ V=2\pi\int_0^1 x\cdot \pi x^2\sin(\pi x^2),dx =2\pi^2\int_0^1 x^3\sin(\pi x^2),dx $$

となる。

ここで

$$ t=x^2 $$

とおくと、

$$ dt=2x\,dx,\qquad x^3dx=x^2(x\,dx)=\frac{t}{2}\,dt $$

であり、積分区間は $x=0,1$ に対応して $t=0,1$ となる。よって

$$ V =2\pi^2\int_0^1 x^3\sin(\pi x^2),dx =\pi^2\int_0^1 t\sin(\pi t),dt $$

となる。

この積分を部分積分する。 $u=t,\ dv=\sin(\pi t),dt$ とおけば

$$ du=dt,\qquad v=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) $$

だから

$$ \int_0^1 t\sin(\pi t),dt =\left[-\frac{t}{\pi}\cos(\pi t)\right]_0^1+\frac{1}{\pi}\int_0^1 \cos(\pi t),dt $$

である。

第1項は

$$ \left[-\frac{t}{\pi}\cos(\pi t)\right]_0^1 =-\frac{1}{\pi}\cos\pi =\frac{1}{\pi} $$

であり、第2項は

$$ \frac{1}{\pi}\int_0^1 \cos(\pi t),dt =\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{\pi}\sin(\pi t)\right]_0^1 =0 $$

となる。

したがって

$$ \int_0^1 t\sin(\pi t),dt=\frac{1}{\pi} $$

であり、

$$ V=\pi^2\cdot \frac{1}{\pi}=\pi $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$y$ 軸回転の体積を「円板」ではなく「円筒殻」で見ることである。$x$ を固定した縦の細片を回転させると、半径 $x$、高さ $f(x)$ の殻になるため、

$$ dV=2\pi x f(x)\,dx $$

が自然に出る。

計算面では、$f(x)$ に $\sin(\pi x^2)$ が含まれているので、$x^2=t$ と置くのが基本である。その後は部分積分で素直に処理できる。

答え

$$ V=2\pi\int_0^1 x f(x)\,dx $$

であり、その値は

$$ V=\pi $$

である。