数学3 体積 問題 11 解説

方針・初手

$y$軸のまわりに回転させるので、$x$を$y$の式に直し、円環断面の面積を $y$ で積分するのが自然である。

まず

$$ y=(\log x)^2 $$

を $x$ について解くと、$0\le y\le1$ に対して

$$ x=10^{\sqrt y},\quad x=10^{-\sqrt y} $$

となる。したがって、高さ $y$ における断面は円環になる。

解法1

曲線 $y=(\log x)^2$ と直線 $y=1$ の交点は

$$ (\log x)^2=1 $$

より

$$ \log x=\pm1 $$

であるから、

$$ x=10,\quad x=\frac{1}{10} $$

である。

したがって、囲まれた部分は

$$ \frac{1}{10}\le x\le 10,\quad (\log x)^2\le y\le1 $$

で表される。

ここで $y$ を固定して考えると、

$$ y=(\log x)^2 $$

は

$$ \log x=\pm\sqrt y $$

となるので、

$$ x=10^{\sqrt y},\quad x=10^{-\sqrt y} $$

を得る。

よって、高さ $y$ における回転断面は、外半径 $10^{\sqrt y}$、内半径 $10^{-\sqrt y}$ の円環であり、その面積は

$$ \pi\left\{(10^{\sqrt y})^2-(10^{-\sqrt y})^2\right\} =\pi\left(10^{2\sqrt y}-10^{-2\sqrt y}\right) $$

である。

したがって体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^1\left(10^{2\sqrt y}-10^{-2\sqrt y}\right),dy $$

となる。

ここで

$$ t=\sqrt y\quad(0\le t\le1) $$

とおくと、

$$ y=t^2,\quad dy=2t,dt $$

であるから、

$$ V=2\pi\int_0^1 t\left(10^{2t}-10^{-2t}\right),dt $$

を得る。

さらに

$$ a=2\ln10 $$

とおけば

$$ 10^{2t}=e^{at},\quad 10^{-2t}=e^{-at} $$

であるから、

$$ V=2\pi\int_0^1 t\left(e^{at}-e^{-at}\right),dt $$

となる。

ここで

$$ \int t e^{at},dt=\frac{e^{at}(at-1)}{a^2},\qquad \int t e^{-at},dt=\frac{e^{-at}(-at-1)}{a^2} $$

より、

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\left[\frac{e^{at}(at-1)}{a^2}-\frac{e^{-at}(-at-1)}{a^2}\right]_0^1 \\ &=2\pi\cdot\frac{e^a(a-1)+e^{-a}(a+1)}{a^2}. \end{aligned} $$

ここで

$$ a=2\ln10,\quad e^a=100,\quad e^{-a}=\frac{1}{100} $$

を代入すると、

$$ V =2\pi\cdot\frac{100(2\ln10-1)+\frac{1}{100}(2\ln10+1)}{(2\ln10)^2} $$

となる。これを整理して

$$ V=\frac{\pi}{200(\ln10)^2}\left(20002\ln10-9999\right) $$

を得る。

解説

この問題では、$x$ のまま積分するよりも、$x=10^{\pm\sqrt y}$ と直して円環断面で処理する方が立式しやすい。

$y$軸回転では、各高さでの「外半径」と「内半径」を正確に読むことが重要である。この問題では

$$ x=10^{\sqrt y},\quad x=10^{-\sqrt y} $$

がそのまま外半径・内半径になるため、断面積法が有効である。

答え

$$ \boxed{V=\frac{\pi}{200(\ln10)^2}\left(20002\ln10-9999\right)} $$