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数学3 体積問題 12 解説

方針・初手

与えられた媒介変数表示から $t$ を消去すると、この曲線は円の一部であることが分かる。まず曲線の形を把握し、長さは中心角から求める。体積は、回転軸が $x$ 軸であるため、$x$ に垂直な断面を円板として積分する。

解法1

媒介変数表示は

$$ x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{t}{1+t^2} $$

である。ここで

$$ 1-x=1-\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{1}{1+t^2} $$

より、

$$ x(1-x)=\frac{t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1}{1+t^2} =\frac{t^2}{(1+t^2)^2}=y^2 $$

となる。したがって曲線は

$$ y^2=x(1-x) $$

すなわち

$$ x^2-x+y^2=0 $$

を満たす。平方完成すると

$$ \left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14 $$

であるから、中心 $\left(\frac12,0\right)$、半径 $\frac12$ の円の一部である。

端点を調べる。$t=\pm \frac{\sqrt3}{3}$ のとき、$t^2=\frac13$ であるから

$$ x=\frac{1/3}{1+1/3}=\frac14 $$

また

$$ y=\frac{\pm \sqrt3/3}{1+1/3} =\pm \frac{\sqrt3}{4} $$

である。したがって端点は

$$ \left(\frac14,-\frac{\sqrt3}{4}\right),\qquad \left(\frac14,\frac{\sqrt3}{4}\right) $$

である。また $t=0$ のとき $(x,y)=(0,0)$ であり、曲線は円の左側の弧である。

円の中心を $C\left(\frac12,0\right)$ とする。点 $\left(\frac14,\frac{\sqrt3}{4}\right)$ に対する中心からのベクトルは

$$ \left(-\frac14,\frac{\sqrt3}{4}\right) $$

であるから、これは正の $x$ 軸となす角が $\frac{2\pi}{3}$ である。同様に、点 $\left(\frac14,-\frac{\sqrt3}{4}\right)$ に対する角は $\frac{4\pi}{3}$ である。

したがって、この弧に対応する中心角は

$$ \frac{4\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} $$

である。半径は $\frac12$ なので、弧の長さは

$$ \frac12\cdot \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3} $$

である。

次に、曲線と直線 $x=\frac14$ で囲まれる部分を考える。この領域は

$$ 0\le x\le \frac14,\qquad -\sqrt{x(1-x)}\le y\le \sqrt{x(1-x)} $$

で表される。

この領域を $x$ 軸のまわりに回転すると、固定した $x$ における断面は半径 $\sqrt{x(1-x)}$ の円板になる。したがって断面積は

$$ \pi \left(\sqrt{x(1-x)}\right)^2 =\pi x(1-x) $$

である。

よって体積 $V$ は

$$ V=\int_0^{1/4}\pi x(1-x),dx $$

である。計算すると

$$ \begin{aligned} V &=\pi\int_0^{1/4}(x-x^2),dx\\ &=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^{1/4}\\ &=\pi\left(\frac{1}{32}-\frac{1}{192}\right)\\ &=\frac{5\pi}{192} \end{aligned} $$

となる。

解法2

曲線の長さだけを媒介変数のまま確認する。

$$ x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{t}{1+t^2} $$

より、

$$ \frac{dx}{dt} =\frac{2t(1+t^2)-t^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2} =\frac{2t}{(1+t^2)^2} $$

また

$$ \frac{dy}{dt} =\frac{(1+t^2)-t\cdot 2t}{(1+t^2)^2} =\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &=\frac{4t^2+(1-t^2)^2}{(1+t^2)^4}\\ &=\frac{4t^2+1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^4}\\ &=\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^4}\\ &=\frac{1}{(1+t^2)^2} \end{aligned} $$

となる。よって弧長 $L$ は

$$ L=\int_{-\sqrt3/3}^{\sqrt3/3}\frac{1}{1+t^2},dt $$

である。これを計算して

$$ \begin{aligned} L &=\left[\arctan t\right]_{-\sqrt3/3}^{\sqrt3/3}\\ &=\arctan\frac{\sqrt3}{3}-\arctan\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\\ &=\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

となる。