トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 体積› 問題 14

数学3 体積問題 14 解説

方針・初手

直線 $\ell$ は

$$ x+y-\frac{5}{2}=0 $$

と書けるので、点と直線の距離公式で(1)を求める。

(2)では、(1)で得た垂線の長さを回転半径とみなし、直線 $\ell$ に沿って円板を積分する。曲線上の点を $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ とおき、$p$ を積分変数として扱う。

解法1

まず、点 $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ から直線 $\ell:x+y-\frac{5}{2}=0$ までの距離を求める。

点と直線の距離公式より、

$$ PQ=\frac{\left|p+\frac{1}{p}-\frac{5}{2}\right|}{\sqrt{2}} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} PQ &= \frac{\left|\frac{2p^2-5p+2}{2p}\right|}{\sqrt{2}} \\ \frac{|(2p-1)(p-2)|}{2\sqrt{2}p} \end{aligned} $$

となる。よって、(1)の答えは

$$ PQ=\frac{|(2p-1)(p-2)|}{2\sqrt{2}p} $$

である。

次に、(2)を求める。

曲線 $C$ と直線 $\ell$ の交点を求める。交点では

$$ \frac{1}{x}=-x+\frac{5}{2} $$

であるから、

$$ 1=-x^2+\frac{5}{2}x $$

すなわち

$$ 2x^2-5x+2=0 $$

となる。よって

$$ (2x-1)(x-2)=0 $$

より、

$$ x=\frac{1}{2},\ 2 $$

である。

したがって、囲まれた部分は $p$ が

$$ \frac{1}{2}\leqq p\leqq 2 $$

を動く範囲に対応する。この範囲では直線 $\ell$ が曲線 $C$ より上側にあるので、

$$ p+\frac{1}{p}\leqq \frac{5}{2} $$

であり、回転半径は

$$ r(p)=\frac{\frac{5}{2}-p-\frac{1}{p}}{\sqrt{2}} $$

である。

ここで、直線 $\ell$ に沿った長さを考える。直線 $\ell$ に平行な方向では $x-y$ が変化するので、直線 $\ell$ 上の長さを表す座標として

$$ s=\frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

を用いる。

点 $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $Q$ とすると、垂線は傾き $1$ の直線であり、その上では $x-y$ が一定である。したがって、$Q$ に対応する $s$ は

$$ s=\frac{p-\frac{1}{p}}{\sqrt{2}} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dp} &= \frac{1+\frac{1}{p^2}}{\sqrt{2}} \\ \frac{p^2+1}{\sqrt{2}p^2} \end{aligned} $$

となる。

回転してできる断面は半径 $r(p)$ の円であるから、体積 $V$ は

$$ V = \pi\int_{\frac{1}{2}}^2 r(p)^2,ds $$

である。したがって、

$$ V = \pi\int_{\frac{1}{2}}^2 \left(\frac{\frac{5}{2}-p-\frac{1}{p}}{\sqrt{2}}\right)^2 \frac{p^2+1}{\sqrt{2}p^2},dp $$

となる。整理して

$$ V = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \int_{\frac{1}{2}}^2 \left(\frac{5}{2}-p-\frac{1}{p}\right)^2 \frac{p^2+1}{p^2},dp $$

である。

被積分関数を展開すると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{2}-p-\frac{1}{p}\right)^2 \frac{p^2+1}{p^2} &= p^2-5p+\frac{37}{4}-\frac{10}{p} +\frac{37}{4p^2}-\frac{5}{p^3}+\frac{1}{p^4} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \int_{\frac{1}{2}}^2 \left( p^2-5p+\frac{37}{4}-\frac{10}{p} +\frac{37}{4p^2}-\frac{5}{p^3}+\frac{1}{p^4} \right),dp \\ &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \left[ \frac{p^3}{3} -\frac{5p^2}{2} +\frac{37p}{4} -10\log p -\frac{37}{4p} +\frac{5}{2p^2} -\frac{1}{3p^3} \right]_{\frac{1}{2}}^2 \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \left[ \frac{p^3}{3} -\frac{5p^2}{2} +\frac{37p}{4} -10\log p -\frac{37}{4p} +\frac{5}{2p^2} -\frac{1}{3p^3} \right]_{\frac{1}{2}}^2 &= \frac{57}{4}-20\log 2 \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} V = \\ \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \left( \frac{57}{4}-20\log 2 \right) &= \frac{\pi(57-80\log 2)}{8\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。