数学3 体積 問題 15 解説

方針・初手

与えられた曲線は極座標で

$$ r=1+\cos\theta $$

と表される。$x$軸のまわりの回転体の体積は、上半分の面積部分を回転させて求めればよい。

上半分では $0\leqq \theta \leqq \pi$、$0\leqq r\leqq 1+\cos\theta$ であるから、微小面積を回転させる方法で体積を積分する。

解法1

曲線

$$ x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=(1+\cos\theta)\sin\theta $$

は極方程式

$$ r=1+\cos\theta $$

を表す。

この図形の上半分は

$$ 0\leqq \theta \leqq \pi,\qquad 0\leqq r\leqq 1+\cos\theta $$

で表される。

ここで、極座標における微小面積は

$$ dA=r\,dr\,d\theta $$

であり、これを $x$ 軸のまわりに回転すると、半径 $y=r\sin\theta$ の円筒殻をつくるので、微小体積 $dV$ は

$$ dV=2\pi y\,dA =2\pi (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =2\pi r^2\sin\theta\,dr\,d\theta $$

となる。

したがって求める体積 $V$ は

$$ V=\int_0^\pi \int_0^{1+\cos\theta} 2\pi r^2\sin\theta,dr,d\theta $$

である。まず $r$ について積分すると、

$$ V=2\pi \int_0^\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^{1+\cos\theta}\sin\theta,d\theta =\frac{2\pi}{3}\int_0^\pi (1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta $$

となる。

ここで

$$ u=1+\cos\theta $$

とおくと

$$ du=-\sin\theta,d\theta $$

であり、$\theta=0$ のとき $u=2$、$\theta=\pi$ のとき $u=0$ だから、

$$ \int_0^\pi (1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta =\int_2^0 u^3(-du) =\int_0^2 u^3,du =\left[\frac{u^4}{4}\right]_0^2 =4 $$

となる。

よって

$$ V=\frac{2\pi}{3}\cdot 4=\frac{8\pi}{3} $$

である。

解説

この曲線は極方程式 $r=1+\cos\theta$ の心臓形である。$x$ 軸回転なので、上半分だけを考えて回転体を作るのが最も自然である。

$x$ を媒介変数表示のまま扱って断面積で積分しようとすると、$x$ が単調でなく計算が煩雑になる。したがって、この問題では極座標のまま微小面積を用いて

$$ dV=2\pi y\,dA $$

とするのが典型的である。

答え

求める体積は

$$ \frac{8\pi}{3} $$

である。