数学3 体積 問題 17 解説

方針・初手

円錐は回転対称であるから、座標を適切にとっても一般性を失わない。底面を $z=0$、底面の中心を $O(0,0,0)$、頂点を $A(0,0,a)$ とおく。

すると円錐は

$$ x^2+y^2\leqq (a-z)^2,\qquad 0\leqq z\leqq a $$

で表される。

平面 $P$ は点 $O$ を通り、底面となす角が $45^\circ$ であるから、回転対称性により

$$ P:\ z=x $$

としてよい。

この設定で、（1） は切り口の図形を調べ、（2） は底面上の各点の真上にできる高さを積分して求める。

解法1

（1） 切り口の面積

平面 $P$ 上では $z=x$ であるから、円錐の側面との交線は

$$ x^2+y^2=(a-x)^2 $$

すなわち

$$ y^2=a^2-2ax $$

で与えられる。これは $xy$ 平面上では放物線であり、$x=0$ で $y=\pm a$、$y=0$ で $x=\dfrac a2$ となる。

したがって、切り口を底面 $z=0$ に正射影した図形は、

$$ 0\leqq x\leqq \frac a2,\qquad -\sqrt{a^2-2ax}\leqq y\leqq \sqrt{a^2-2ax} $$

で表される放物線弓形である。その面積を $S_0$ とすると、

$$ S_0=\int_0^{a/2}2\sqrt{a^2-2ax},dx $$

である。置換 $u=a^2-2ax$ を用いると、

$$ \begin{aligned} S_0 &=2\int_0^{a/2}\sqrt{a^2-2ax},dx \\ &=\frac1a\int_0^{a^2}\sqrt{u},du \\ &=\frac1a\cdot \frac23 u^{3/2}\Big|_0^{a^2} \\ &=\frac{2a^2}{3}. \end{aligned} $$

ここで、平面 $P$ と底面のなす角は $45^\circ$ であるから、正射影による面積の比は $\cos 45^\circ=\dfrac1{\sqrt2}$ である。よって切り口の面積 $S$ は

$$ S=\frac{S_0}{\cos45^\circ}=\sqrt2,S_0=\frac{2\sqrt2}{3}a^2 $$

となる。

（2） 小さい方の体積

平面 $P:z=x$ は頂点 $A(0,0,a)$ を含まないので、頂点を含まない側が小さい方である。この部分は $z\leqq x$ 側にある。

底面上で極座標

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta $$

を用いる。ただし小さい方は $x\geqq 0$ 側にあるから、

$$ 0\leqq r\leqq a,\qquad -\frac{\pi}{2}\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2} $$

とする。

底面上の点 $(r,\theta)$ の真上で、円錐の上面の高さは

$$ z=a-r $$

であり、平面 $P$ の高さは

$$ z=x=r\cos\theta $$

である。したがって小さい方の立体の高さは

$$ \min(r\cos\theta,\ a-r) $$

となる。

両者が等しくなるのは

$$ r\cos\theta=a-r $$

すなわち

$$ r=\frac{a}{1+\cos\theta} $$

のときである。よって求める体積を $V$ とすると、

$$ V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( \int_0^{a/(1+\cos\theta)} r\cdot r\cos\theta,dr + \int_{a/(1+\cos\theta)}^a r(a-r),dr \right) d\theta $$

である。ここで $r,dr,d\theta$ は極座標の面積要素である。

内側の積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^{a/(1+\cos\theta)} r^2\cos\theta,dr + \int_{a/(1+\cos\theta)}^a r(a-r),dr &= \frac{a^3}{6}-\frac{a^3}{6(1+\cos\theta)^2} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ V=\frac{a^3}{6}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1-\frac1{(1+\cos\theta)^2}\right)d\theta =\frac{a^3}{6}\left( \pi-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^2} \right). $$

ここで

$$ 1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^2} &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{4}\sec^4\frac{\theta}{2},d\theta \\ &=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac12\sec^4 u,du \qquad \left(u=\frac{\theta}{2}\right) \\ &=\int_0^{\pi/4}\sec^4 u,du \\ &=\left[\tan u+\frac13\tan^3u\right]_0^{\pi/4} \\ &=1+\frac13=\frac43. \end{aligned} $$

したがって

$$ V=\frac{a^3}{6}\left(\pi-\frac43\right) =\frac{3\pi-4}{18}a^3. $$

これが小さい方の体積である。

解説

この問題の要点は、平面 $P$ を回転対称性によって $z=x$ とおけることにある。すると切り口は

$$ y^2=a^2-2ax $$

で表される放物線弓形になり、（1） は正射影を使うと面積がすぐ求まる。

また （2） は、底面上の各点の真上で「円錐の高さ」と「平面 $P$ の高さ」の小さい方を積分すればよい。立体全体を無理に三次元で扱うより、底面上の極座標で高さを整理するのが最も自然である。

答え

(1)

切り口の面積は

$$ \frac{2\sqrt2}{3}a^2 $$

である。

(2)

小さい方の体積は

$$ \frac{3\pi-4}{18}a^3 $$

である。