数学3 体積 問題 18 解説

方針・初手

最大値をとる点 $a$ は、まず $f'(x)$ を調べて増減を確定すれば求まる。

その後、回転体の体積は、$0\leqq x\leqq a$ において $f(x)\geqq 0$ であることを用いて、円板法

$$ V=\pi\int_0^a {f(x)}^2,dx $$

で求める。

解法1

$f(x)=x+\sqrt2\sin x$ であるから、

$$ f'(x)=1+\sqrt2\cos x $$

である。

したがって、極値の候補は

$$ 1+\sqrt2\cos x=0 $$

すなわち

$$ \cos x=-\frac{1}{\sqrt2} $$

を満たす点であり、$0\leqq x\leqq \pi$ では

$$ x=\frac{3\pi}{4} $$

のみである。

ここで、

• $0\leqq x<\dfrac{3\pi}{4}$ では $\cos x>-\dfrac{1}{\sqrt2}$ より $f'(x)>0$
• $\dfrac{3\pi}{4}<x\leqq \pi$ では $\cos x<-\dfrac{1}{\sqrt2}$ より $f'(x)<0$

となるので、$f(x)$ は $x=\dfrac{3\pi}{4}$ で最大となる。よって

$$ a=\frac{3\pi}{4} $$

である。

さらに、

$$ f(a)=f\left(\frac{3\pi}{4}\right) =\frac{3\pi}{4}+\sqrt2\sin\frac{3\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}+\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{3\pi}{4}+1 $$

である。

次に体積を求める。

$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ かつ $x\geqq 0$ であるから、

$$ f(x)=x+\sqrt2\sin x\geqq 0 $$

である。したがって、曲線 $y=f(x)$、$x$ 軸、および $x=a$ で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転させた体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^a {f(x)}^2,dx =\pi\int_0^{3\pi/4}(x+\sqrt2\sin x)^2,dx $$

となる。

被積分関数を展開すると、

$$ (x+\sqrt2\sin x)^2=x^2+2\sqrt2\,x\sin x+2\sin^2 x $$

であるから、

$$ V=\pi\int_0^{3\pi/4}\left(x^2+2\sqrt2\,x\sin x+2\sin^2 x\right)\,dx $$

となる。

それぞれ積分すると、

$$ \int_0^{3\pi/4}x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{3\pi/4} =\frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{4}\right)^3 =\frac{9\pi^3}{64} $$

また、

$$ \int x\sin x,dx=-x\cos x+\sin x $$

であるから、

$$ 2\sqrt2\int_0^{3\pi/4}x\sin x,dx =2\sqrt2\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{3\pi/4} $$

となる。ここで

$$ \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$

より、

$$ 2\sqrt2\left\{-\frac{3\pi}{4}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\right\} =2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{3\pi}{4}+1\right) =2\left(\frac{3\pi}{4}+1\right) =\frac{3\pi}{2}+2 $$

である。

さらに、

$$ 2\sin^2 x=1-\cos 2x $$

より、

$$ \int_0^{3\pi/4}2\sin^2 x,dx =\int_0^{3\pi/4}(1-\cos 2x),dx =\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{3\pi/4} $$

であり、$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$ だから

$$ \left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{3\pi/4} =\frac{3\pi}{4}-\frac{1}{2}\left(-1\right) =\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2} $$

となる。

以上より、

$$ \int_0^{3\pi/4}(x+\sqrt2\sin x)^2,dx =\frac{9\pi^3}{64}+\left(\frac{3\pi}{2}+2\right)+\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}\right) =\frac{9\pi^3}{64}+\frac{9\pi}{4}+\frac{5}{2} $$

したがって、

$$ V=\pi\left(\frac{9\pi^3}{64}+\frac{9\pi}{4}+\frac{5}{2}\right) =\frac{9\pi^4}{64}+\frac{9\pi^2}{4}+\frac{5\pi}{2} $$

である。

解説

最大値を求める部分では、導関数の符号変化をきちんと確認することが重要である。単に $f'(x)=0$ を解くだけでは不十分であり、その点で本当に最大となることを増減で確定する必要がある。

体積では、「囲まれる図形」が $x=0$ から $x=a$ までの部分であることを押さえることが要点である。また、この問題では $0\leqq x\leqq \pi$ で $f(x)\geqq 0$ なので、回転体の体積はそのまま円板法で処理できる。

答え

(1)

$$ a=\frac{3\pi}{4},\qquad f(a)=\frac{3\pi}{4}+1 $$

(2)

$$ V=\frac{9\pi^4}{64}+\frac{9\pi^2}{4}+\frac{5\pi}{2} $$