数学3 体積 問題 22 解説

方針・初手

直線 $y=x$ に関する対称移動では、$x$ と $y$ を入れ替えて考えればよい。したがって、まず $C'$ の方程式を求め、$C$ と $C'$ の交点から囲まれる範囲を確定する。

そのうえで、$x$ 軸のまわりの回転体の体積は、$x$ で積分する円環の方法で求めるのが最も自然である。

解法1

曲線 $C$ は

$$ y=x^2 \qquad (x\geqq 0) $$

である。

これを直線 $y=x$ に関して対称移動すると、$x$ と $y$ を入れ替えた

$$ x=y^2 \qquad (y\geqq 0) $$

を得る。したがって $C'$ は

$$ y=\sqrt{x} \qquad (x\geqq 0) $$

である。

次に、$C$ と $C'$ の交点を求める。

$$ x^2=\sqrt{x} $$

より、$x\geqq 0$ であるから両辺を 2 乗して

$$ x^4=x $$

となる。よって

$$ x(x^3-1)=0 $$

より

$$ x=0,\ 1 $$

である。対応する $y$ 座標もそれぞれ $0,1$ であるから、交点は $(0,0)$ と $(1,1)$ である。

$0\leqq x\leqq 1$ では

$$ \sqrt{x} \geqq x^2 $$

であるから、囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転すると、半径 $\sqrt{x}$ の外側の円板から半径 $x^2$ の内側の円板を除いた円環ができる。

したがって体積 $V$ は

$$ V=\pi \int_0^1 \left\{ (\sqrt{x})^2-(x^2)^2 \right\},dx $$

$$ =\pi \int_0^1 (x-x^4),dx $$

$$ =\pi \left[ \frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5} \right]_0^1 $$

$$ =\pi \left( \frac12-\frac15 \right) =\frac{3\pi}{10} $$

よって求める体積は

$$ \frac{3\pi}{10} $$

である。

解法2

回転軸が $x$ 軸なので、$y$ を用いた円筒殻の方法でも求められる。

$C$ は

$$ y=x^2 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\sqrt{y} $$

であり、$C'$ は

$$ y=\sqrt{x} \quad \Longleftrightarrow \quad x=y^2 $$

である。

したがって、$0\leqq y\leqq 1$ において、横に見たときの線分の長さは

$$ \sqrt{y}-y^2 $$

となる。

これを $x$ 軸のまわりに回転すると、半径 $y$、高さ $\sqrt{y}-y^2$ の円筒殻ができるから、体積 $V$ は

$$ V=2\pi \int_0^1 y(\sqrt{y}-y^2),dy $$

$$ =2\pi \int_0^1 \left( y^{3/2}-y^3 \right),dy $$

$$ =2\pi \left[ \frac{2}{5}y^{5/2}-\frac14 y^4 \right]_0^1 $$

$$ =2\pi \left( \frac25-\frac14 \right) =2\pi \cdot \frac{3}{20} =\frac{3\pi}{10} $$

よって、やはり求める体積は

$$ \frac{3\pi}{10} $$

である。

解説

直線 $y=x$ に関する対称移動では、式中の $x,y$ を入れ替えるのが基本である。ただし、今回のように $x\geqq 0$ という条件がついていると、移動後は $y\geqq 0$ という条件に対応する点も意識する必要がある。

体積計算では、$x$ 軸回転である以上、通常は $x$ で積分する円環法が最も見通しがよい。外半径と内半径を取り違えないこと、また交点を正確に求めて積分区間を $[0,1]$ と定めることが重要である。

答え

求める回転体の体積は

$$ \frac{3\pi}{10} $$

である。