数学3 体積 問題 23 解説

方針・初手

回転軸が $y$ 軸であるから、$y$ を固定した断面を考えると円板として体積を求めやすい。

まず

$$ y\le -\frac{x^2}{a}+10-a $$

を $x^2$ について整理し、各高さ $y$ における回転半径を求める。

解法1

図形 $S_a$ は

$$ 0\le y\le -\frac{x^2}{a}+10-a $$

を満たす点全体である。

したがって、ある高さ $y$ において取りうる $x$ は

$$ y\le -\frac{x^2}{a}+10-a $$

より

$$ x^2\le a(10-a-y) $$

を満たす。

よって、この高さ $y$ における断面は半径

$$ \sqrt{a(10-a-y)} $$

の円板である。

また、$x^2\ge 0$ より

$$ a(10-a-y)\ge 0 $$

でなければならないから、

$$ 0\le y\le 10-a $$

である。

したがって体積 $V(a)$ は

$$ V(a)=\pi\int_0^{10-a} a(10-a-y),dy $$

となる。計算すると

$$ \begin{aligned} V(a) &=\pi a\int_0^{10-a}(10-a-y),dy \\ &=\pi a\left[(10-a)y-\frac{y^2}{2}\right]_0^{10-a} \\ &=\pi a\left((10-a)^2-\frac{(10-a)^2}{2}\right) \\ &=\frac{\pi}{2}a(10-a)^2 \end{aligned} $$

よって、$0<a<10$ において

$$ f(a)=a(10-a)^2 $$

の最大値を求めればよい。

微分すると

$$ \begin{aligned} f'(a) &=(10-a)^2-2a(10-a) \\ &=(10-a){(10-a)-2a} \\ &=(10-a)(10-3a) \end{aligned} $$

ここで $0<a<10$ だから、臨界点は

$$ a=\frac{10}{3} $$

のみである。

符号をみると、

(i)

$0<a<\dfrac{10}{3}$ では $f'(a)>0$

(ii)

$\dfrac{10}{3}<a<10$ では $f'(a)<0$

となるから、$a=\dfrac{10}{3}$ で最大となる。

そのとき

$$ \begin{aligned} V\left(\frac{10}{3}\right) &=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{10}{3}\left(10-\frac{10}{3}\right)^2 \\ &=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{10}{3}\cdot \left(\frac{20}{3}\right)^2 \\ &=\frac{2000\pi}{27} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、回転体の体積を「断面積の積分」で求めるのが自然である。

不等式

$$ y\le -\frac{x^2}{a}+10-a $$

を $x^2\le a(10-a-y)$ と直すと、各高さでの半径がすぐに分かる。そこで体積を $a$ の式に直し、最後は1変数関数の最大値問題に帰着できる。

答え

最大値は

$$ \frac{2000\pi}{27} $$

であり、そのとき

$$ a=\frac{10}{3} $$

である。