数学3 体積 問題 30 解説

方針・初手

直線 $y=t$ と曲線 $y=(x^2-1)^2$ は、$0<t<1$ のとき中央部分と左右の部分の合計 $3$ つの領域を囲む。

これを $y$ 軸のまわりに回転するので、水平断面で考えるのが自然である。高さ $y$ における回転後の断面が、円板になるか円環になるかを分けて体積を求める。

解法1

曲線を

$$ y=(x^2-1)^2 $$

とおく。$0\le y\le 1$ に対して

$$ (x^2-1)^2=y $$

を解くと、

$$ x^2=1\pm \sqrt{y} $$

である。したがって、回転体の断面で現れる半径は

$$ \sqrt{1-\sqrt{y}},\qquad \sqrt{1+\sqrt{y}} $$

である。

まず、$0\le y\le t$ の範囲では、左右の外側の領域が回転して、内半径 $\sqrt{1-\sqrt{y}}$、外半径 $\sqrt{1+\sqrt{y}}$ の円環になる。

よって、このときの断面積は

$$ \pi{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})}=2\pi\sqrt{y} $$

である。

次に、$t\le y\le 1$ の範囲では、中央の領域が回転して、半径 $\sqrt{1-\sqrt{y}}$ の円板になる。

よって、このときの断面積は

$$ \pi(1-\sqrt{y}) $$

である。

したがって、体積 $V(t)$ は

$$ \begin{aligned} V(t) &=\int_0^t 2\pi\sqrt{y},dy+\int_t^1 \pi(1-\sqrt{y}),dy \\ &=2\pi\cdot \frac{2}{3}t^{3/2} +\pi\left[y-\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_t^1 \\ &=\frac{4\pi}{3}t^{3/2} +\pi\left(\frac{1}{3}-t+\frac{2}{3}t^{3/2}\right) \\ &=\pi\left(\frac{1}{3}-t+2t^{3/2}\right). \end{aligned} $$

ここで $0\le t\le 1$ において $V(t)$ の最小値を調べる。

$$ V'(t)=\pi(-1+3\sqrt{t}) $$

であるから、

$$ V'(t)=0 $$

となるのは

$$ 3\sqrt{t}=1 $$

より

$$ t=\frac{1}{9} $$

である。

また、$0<t<\frac{1}{9}$ では $V'(t)<0$、$\frac{1}{9}<t<1$ では $V'(t)>0$ である。したがって、$t=\frac{1}{9}$ で $V(t)$ は最小となる。

このとき、

$$ \begin{aligned} V\left(\frac{1}{9}\right) &=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{9} +2\left(\frac{1}{9}\right)^{3/2}\right) \\ &=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{9} +2\cdot \frac{1}{27}\right) \\ &=\pi\left(\frac{9}{27}-\frac{3}{27}+\frac{2}{27}\right) \\ &=\frac{8\pi}{27}. \end{aligned} $$

解説

この問題では、直線 $y=t$ と曲線が囲む領域が $1$ つではなく、中央部分と左右の部分に分かれる点が重要である。

ただし、左右の部分は $y$ 軸のまわりに回転すると同じ円環を作るため、左右を単純に $2$ 倍してはいけない。回転後の立体としては、各高さ $y$ で実際にできる断面を考える必要がある。

そのため、$x$ 方向に積分するよりも、$y$ 方向に断面積を積分する方が自然である。

答え

$$ t=\frac{1}{9} $$

のとき最小となり、最小値は

$$ \frac{8\pi}{27} $$

である。