数学3 体積 問題 31 解説

方針・初手

$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$ は $0\leqq x\leqq 2$ で非負であるから、最大値を調べるときは $f(x)$ そのものではなく $f(x)^2$ を見た方が計算しやすい。

その後、（2） は定積分で面積を求め、（3） は $y$ 軸回転であるから円筒殻を用いると自然に体積が求まる。

解法1

(1)

$\alpha,\beta$ を求める。

$f(x)\geqq 0$ であるから、$f(x)$ が最大となる $x$ は

$$ f(x)^2=x^2(4-x^2)=4x^2-x^4 $$

が最大となる $x$ と一致する。

そこで

$$ g(x)=4x^2-x^4 $$

とおくと、

$$ g'(x)=8x-4x^3=4x(2-x^2) $$

である。

したがって、$0\leqq x\leqq 2$ における極値の候補は

$$ x=0,\ \sqrt{2} $$

および端点 $x=2$ である。

それぞれでの値は

$$ g(0)=0,\quad g(\sqrt{2})=4,\quad g(2)=0 $$

であるから、最大は $x=\sqrt{2}$ のときである。

よって

$$ \alpha=\sqrt{2} $$

であり、そのとき

$$ \beta=f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2 $$

となる。

したがって

$$ \alpha=\sqrt{2},\quad \beta=2 $$

である。

（2） 曲線 $y=f(x)\ (0\leqq x\leqq 2)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^2 x\sqrt{4-x^2},dx $$

である。

ここで

$$ u=4-x^2 $$

とおくと、

$$ du=-2x,dx $$

であるから、

$$ S=-\frac12\int_4^0 \sqrt{u},du =\frac12\int_0^4 u^{1/2},du $$

となる。

よって

$$ S=\frac12\cdot \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^4 =\frac{1}{3}\cdot 4^{3/2} =\frac{1}{3}\cdot 8 =\frac{8}{3} $$

である。

（3） 曲線 $y=f(x)\ (0\leqq x\leqq \alpha)$、直線 $y=\beta$、および $y$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

（1） より

$$ \alpha=\sqrt{2},\quad \beta=2 $$

である。

この図形を $y$ 軸のまわりに回転するので、$x$ を用いた円筒殻で考えると、半径は $x$、高さは

$$ 2-f(x)=2-x\sqrt{4-x^2} $$

である。

したがって体積 $V$ は

$$ V=2\pi\int_0^{\sqrt{2}} x\left(2-x\sqrt{4-x^2}\right),dx $$

となる。すなわち

$$ V=2\pi\left(\int_0^{\sqrt{2}}2x,dx-\int_0^{\sqrt{2}}x^2\sqrt{4-x^2},dx\right) $$

である。

まず

$$ \int_0^{\sqrt{2}}2x,dx=\left[x^2\right]_0^{\sqrt{2}}=2 $$

である。

次に

$$ I=\int_0^{\sqrt{2}}x^2\sqrt{4-x^2},dx $$

を求める。ここで

$$ x=2\sin\theta \quad \left(0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{4}\right) $$

とおくと、

$$ dx=2\cos\theta,d\theta,\quad \sqrt{4-x^2}=2\cos\theta $$

であるから、

$$ I=\int_0^{\pi/4}(4\sin^2\theta)(2\cos\theta)(2\cos\theta),d\theta =16\int_0^{\pi/4}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta $$

となる。

さらに

$$ \sin^2\theta\cos^2\theta=\frac14\sin^22\theta $$

より、

$$ I=4\int_0^{\pi/4}\sin^22\theta,d\theta $$

である。

ここで

$$ \sin^22\theta=\frac{1-\cos4\theta}{2} $$

を用いると、

$$ I=4\int_0^{\pi/4}\frac{1-\cos4\theta}{2},d\theta =2\left[\theta-\frac14\sin4\theta\right]_0^{\pi/4} =2\cdot \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2} $$

となる。

したがって

$$ V=2\pi\left(2-\frac{\pi}{2}\right) =4\pi-\pi^2 $$

である。

解説

この問題の要点は、最大値を直接微分で追わず、まず $f(x)\geqq 0$ を確認して $f(x)^2$ を最大化することである。根号が消えるため、計算がかなり整う。

（2） は置換積分の基本問題であり、$x\sqrt{4-x^2}$ を見たら $4-x^2$ の置換が自然である。

（3） は $y$ 軸回転なので、$x$ で積分するなら円筒殻を使うのが最も素直である。無理に断面法で進めると、$x$ を $y$ の式で表す必要が生じて煩雑になる。

答え

(1)

$$ \alpha=\sqrt{2},\quad \beta=2 $$

(2)

面積は

$$ \frac{8}{3} $$

(3)

体積は

$$ 4\pi-\pi^2 $$