数学3 体積 問題 35 解説

方針・初手

まず媒介変数 $t$ を消去して、曲線 $C$ を $x,y$ の関係式で表す。

与えられた式

$$ x=\frac{\cos t}{1+\sin t},\qquad y=\sin t \qquad \left(0\le t\le \frac{\pi}{2}\right) $$

より、$\sin t=y$ を用いて $x$ を $y$ の式に直せば、面積も回転体の体積も通常の積分で求めやすくなる。

解法1

$t=0$ のとき

$$ (x,y)=(1,0) $$

であり、$t=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ (x,y)=(0,1) $$

である。

また、

$$ x^2=\frac{\cos^2 t}{(1+\sin t)^2} =\frac{1-\sin^2 t}{(1+\sin t)^2} =\frac{1-\sin t}{1+\sin t} =\frac{1-y}{1+y} $$

となるので、

$$ x^2=\frac{1-y}{1+y} $$

を得る。

これを $y$ について解くと、

$$ y=\frac{1-x^2}{1+x^2} $$

である。

したがって、曲線 $C$ は第1象限において

$$ y=\frac{1-x^2}{1+x^2}\qquad (0\le x\le 1) $$

と表される。

（1） 面積

求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^1 y,dx =\int_0^1 \frac{1-x^2}{1+x^2},dx $$

である。

ここで

$$ \frac{1-x^2}{1+x^2} =-1+\frac{2}{1+x^2} $$

であるから、

$$ S=\int_0^1 \left(-1+\frac{2}{1+x^2}\right),dx $$

となる。

よって

$$ S=\left[-x+2\arctan x\right]_0^1 =-1+2\cdot \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}-1 $$

である。

(2)

$y$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積

$y$ 軸回転であるから、$y$ を変数とする円板法を用いると自然である。

体積を $V$ とすると、

$$ V=\pi\int_0^1 x^2,dy $$

であり、先ほど求めた

$$ x^2=\frac{1-y}{1+y} $$

を代入して

$$ V=\pi\int_0^1 \frac{1-y}{1+y},dy $$

となる。

ここで

$$ \frac{1-y}{1+y} =-1+\frac{2}{1+y} $$

であるから、

$$ V=\pi\int_0^1 \left(-1+\frac{2}{1+y}\right),dy $$

となる。

したがって、

$$ V=\pi\left[-y+2\log(1+y)\right]_0^1 =\pi\left(-1+2\log 2\right) $$

である。

ゆえに

$$ V=\pi(2\log 2-1) $$

を得る。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示のまま積分しようとせず、まず曲線の方程式を作ることである。

実際、

$$ x^2=\frac{1-y}{1+y} $$

から

$$ y=\frac{1-x^2}{1+x^2} $$

がすぐに得られるので、面積は $x$ で積分できる。

また、回転体は $y$ 軸回転なので、半径が $x$ である円板を考え、

$$ V=\pi\int x^2,dy $$

とするのが最も簡潔である。面積では $y=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$、体積では $x^2=\dfrac{1-y}{1+y}$ を使い分けると計算がきれいに進む。

答え

$$ \text{（1） }\frac{\pi}{2}-1 $$

$$ \text{（2） }\pi(2\log 2-1) $$