数学3 体積 問題 34 解説

方針・初手

まず 2 曲線の交点を求め、$D$ がどの $x$ の範囲にあるかを確定する。

$t<0$ なので、$y$ 軸は $x=0$ であり、交点の $x$ 座標が負になることから、領域 $D$ は $x=t$ から $x=0$ の間にある。したがって、$x$ 軸まわりの回転体の体積は円板法で求められる。

解法1

2 曲線

$$ y=2^{2x+2t},\qquad y=2^{x+3t} $$

の交点は

$$ 2^{2x+2t}=2^{x+3t} $$

より

$$ 2x+2t=x+3t $$

すなわち

$$ x=t $$

である。

このとき $t<0$ であるから、交点は $y$ 軸の左側にある。

さらに、$x\in [t,0]$ で

$$ (2x+2t)-(x+3t)=x-t\geqq 0 $$

だから、

$$ 2^{2x+2t}\geqq 2^{x+3t} $$

であり、上側の曲線は $y=2^{2x+2t}$、下側の曲線は $y=2^{x+3t}$ である。

よって、$D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 $V(t)$ は

$$ V(t)=\pi\int_t^0\left\{(2^{2x+2t})^2-(2^{x+3t})^2\right\},dx $$

すなわち

$$ V(t)=\pi\int_t^0\left(2^{4x+4t}-2^{2x+6t}\right),dx $$

となる。

ここで

$$ \int 2^{ax+b}\,dx=\frac{1}{a\log 2}2^{ax+b}+C $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} V(t) &=\pi\left[\frac{1}{4\log 2}2^{4x+4t}-\frac{1}{2\log 2}2^{2x+6t}\right]_t^0 \\ &=\pi\left\{\frac{2^{4t}-2^{8t}}{4\log 2}-\frac{2^{6t}-2^{8t}}{2\log 2}\right\} \\ &=\frac{\pi}{4\log 2}\left(2^{4t}-2^{6t+1}+2^{8t}\right). \end{aligned} $$

したがって、

$$ V(t)=\frac{\pi}{4\log 2}2^{4t}(1-2^{2t})^2 $$

である。

次に最大値を求める。$u=2^{2t}$ とおくと、$t<0$ より

$$ 0<u<1 $$

であり、

$$ V(t)=\frac{\pi}{4\log 2}u^2(1-u)^2 $$

となる。

したがって、$V(t)$ の最大化は

$$ f(u)=u^2(1-u)^2 $$

の最大化に帰着する。

$f(u)=[u(1-u)]^2$ であり、$0<u<1$ において $u(1-u)$ は $u=\dfrac12$ のとき最大となるから、

$$ u=\frac12 $$

すなわち

$$ 2^{2t}=\frac12=2^{-1} $$

より

$$ 2t=-1,\qquad t=-\frac12 $$

である。

このとき

$$ V_{\max}=\frac{\pi}{4\log 2}\left(\frac12\right)^2\left(1-\frac12\right)^2 =\frac{\pi}{4\log 2}\cdot\frac1{16} =\frac{\pi}{64\log 2}. $$

解説

この問題の核心は、まず領域 $D$ の横の範囲を正確に押さえることである。交点の $x$ 座標が $x=t$ になり、しかも $t<0$ なので、領域は $x=t$ から $x=0$ までにある。

そのうえで、回転体の体積は「上側の曲線の二乗から下側の曲線の二乗を引く」という円板法で処理すればよい。最後は $u=2^{2t}$ とおくと、最大値問題が $0<u<1$ における $u^2(1-u)^2$ の最大化に簡約され、見通しがよくなる。

答え

(1)

$$ V(t)=\pi\int_t^0\left(2^{4x+4t}-2^{2x+6t}\right)\,dx =\frac{\pi}{4\log 2}2^{4t}(1-2^{2t})^2 $$

(2)

$$ V(t)\text{ は }t=-\frac12\text{ のとき最大} $$

その最大値は

$$ \frac{\pi}{64\log 2} $$

である。