数学3 体積 問題 37 解説

方針・初手

点 $(\alpha,\beta,t)$ は線分 $PQ$ 上にあり、しかも $z$ 座標が $t$ である。したがって、$P(1,0,1)$ と $Q(\cos\theta,2+\sin\theta,0)$ の内分表示を用いれば $\alpha,\beta$ はすぐに表せる。

また、線分 $PQ$ を $z$ 軸の周りに回転してできる立体を高さ $z=t$ で切ると、断面は半径 $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ の円になる。よって体積は断面積を $t$ について積分すればよい。

解法1

線分 $PQ$ 上で $z=t$ となる点を $(\alpha,\beta,t)$ とする。$P$ の $z$ 座標は $1$、$Q$ の $z$ 座標は $0$ であるから、

$$ (\alpha,\beta,t)=tP+(1-t)Q $$

と表せる。したがって

$$ \alpha=t+(1-t)\cos\theta,\qquad \beta=(1-t)(2+\sin\theta) $$

である。

よって

$$ \alpha^2+\beta^2={t+(1-t)\cos\theta}^2+(1-t)^2(2+\sin\theta)^2 $$

ここで

$$ \cos^2\theta+(2+\sin\theta)^2 =\cos^2\theta+\sin^2\theta+4\sin\theta+4 =5+4\sin\theta $$

より、

$$ \alpha^2+\beta^2 =t^2+2t(1-t)\cos\theta+(1-t)^2(5+4\sin\theta) $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。高さ $z=t$ における断面は、半径 $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ の円であるから、その断面積は

$$ \pi(\alpha^2+\beta^2) $$

である。したがって求める体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^1(\alpha^2+\beta^2),dt $$

となる。上の式を代入して

$$ V=\pi\int_0^1\left[t^2+2t(1-t)\cos\theta+(1-t)^2(5+4\sin\theta)\right]dt $$

各項を積分すると

$$ \int_0^1 t^2,dt=\frac13,\qquad \int_0^1 2t(1-t),dt=\frac13,\qquad \int_0^1 (1-t)^2,dt=\frac13 $$

であるから、

$$ V =\pi\left(\frac13+\frac13\cos\theta+\frac13(5+4\sin\theta)\right) =\frac{\pi}{3}(6+\cos\theta+4\sin\theta) $$

となる。

最後に （3） を考える。

$$ \cos\theta+4\sin\theta =\sqrt{17}\sin(\theta+\varphi) \qquad \left(\cos\varphi=\frac4{\sqrt{17}},\ \sin\varphi=\frac1{\sqrt{17}}\right) $$

と表せるので、

$$ -\sqrt{17}\leqq \cos\theta+4\sin\theta \leqq \sqrt{17} $$

である。したがって

$$ \frac{\pi}{3}(6-\sqrt{17}) \leqq V \leqq \frac{\pi}{3}(6+\sqrt{17}) $$

となる。よって体積の最大値、最小値はそれぞれ

$$ V_{\max}=\frac{\pi}{3}(6+\sqrt{17}),\qquad V_{\min}=\frac{\pi}{3}(6-\sqrt{17}) $$

である。

解説

この問題の要点は、空間図形をそのまま扱うのではなく、高さ $z=t$ における回転断面に注目することである。

線分 $PQ$ 上の点の座標は $t$ を用いて一次式で表せるが、$z$ 軸からの距離の二乗 $\alpha^2+\beta^2$ は二次式になる。したがって、半径そのものではなく半径の二乗を直接求め、断面積 $\pi(\alpha^2+\beta^2)$ を積分するのが最も素直である。

また、最大・最小は $\cos\theta+4\sin\theta$ を振幅 $\sqrt{17}$ の三角関数にまとめれば一瞬で処理できる。

答え

(1)

$$ \alpha^2+\beta^2 =t^2+2t(1-t)\cos\theta+(1-t)^2(5+4\sin\theta) $$

(2)

$$ V=\frac{\pi}{3}(6+\cos\theta+4\sin\theta) $$

(3)

$$ \text{最大値 } \frac{\pi}{3}(6+\sqrt{17}),\qquad \text{最小値 } \frac{\pi}{3}(6-\sqrt{17}) $$