数学3 体積 問題 38 解説

方針・初手

問3の体積は、$y$軸まわりの回転なので円筒殻法を使うのが自然である。そのために、まず $\tan x$ の微分と $\tan^2 x$ の不定積分を確認し、ついで

$$ \int_0^{\pi/4} x\tan^2 x,dx $$

を求める。すると体積は

$$ V=2\pi\int_0^{\pi/4} x\bigl(1-\tan^2 x\bigr),dx $$

として処理できる。

解法1

問1

(1)

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ であるから、商の微分法より

$$ \frac{d}{dx}\tan x =\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}. $$

したがって

$$ \frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x. $$

（2） 恒等式 $\tan^2 x=\sec^2 x-1$ を用いると

$$ \int \tan^2 x,dx =\int (\sec^2 x-1),dx =\tan x-x+C. $$

問2

求める積分を

$$ I=\int_0^{\pi/4} x\tan^2 x,dx $$

とおく。

問1の （2） を使いやすくするために $\tan^2 x=\sec^2 x-1$ と直して

$$ I=\int_0^{\pi/4} x(\sec^2 x-1),dx =\int_0^{\pi/4} x\sec^2 x,dx-\int_0^{\pi/4} x,dx $$

とする。

ここで

$$ \int x\sec^2 x,dx $$

を部分積分する。$u=x,\ dv=\sec^2 x,dx$ とおけば

$$ du=dx,\quad v=\tan x $$

であるから

$$ \int x\sec^2 x,dx =x\tan x-\int \tan x,dx. $$

また

$$ \int \tan x,dx=-\log|\cos x|+C $$

であるので

$$ \int x\sec^2 x,dx =x\tan x+\log|\cos x|+C. $$

よって

$$ I=\left[x\tan x+\log(\cos x)-\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi/4}. $$

これを計算すると

$$ I=\frac{\pi}{4}\cdot 1+\log\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2-\frac{\pi^2}{32}. $$

したがって

$$ \int_0^{\pi/4} x\tan^2 x,dx =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2-\frac{\pi^2}{32}. $$

問3

曲線 $y=\tan^2 x$、直線 $x=0$、$y=1$ に囲まれた部分を考える。$0\le x\le \pi/4$ において $\tan^2 x$ は $0$ から $1$ まで増加するので、この部分の縦の長さは

$$ 1-\tan^2 x $$

である。

これを $y$ 軸のまわりに回転すると、半径 $x$、高さ $1-\tan^2 x$ の円筒殻ができるから、体積は

$$ V=2\pi\int_0^{\pi/4} x(1-\tan^2 x),dx $$

となる。したがって

$$ V=2\pi\left(\int_0^{\pi/4} x,dx-\int_0^{\pi/4} x\tan^2 x,dx\right). $$

ここで

$$ \int_0^{\pi/4} x,dx =\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi/4} =\frac{\pi^2}{32} $$

であり、問2の結果を用いると

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\left(\frac{\pi^2}{32}-\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2-\frac{\pi^2}{32}\right)\right) \\ &=2\pi\left(\frac{\pi^2}{16}-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log 2\right). \end{aligned} $$

よって

$$ V=\frac{\pi^3}{8}-\frac{\pi^2}{2}+\pi\log 2. $$

解説

問1の （2） で $\tan^2 x=\sec^2 x-1$ を使うことが全体の基本である。問2ではその形に直して部分積分を行えばよい。

問3では、$y$ 軸まわりの回転体であり、しかも領域が $x$ で表しやすいので、円筒殻法を使うのが最も自然である。断面積で処理しようとすると $x=\arctan\sqrt y$ を使うことになり、かえって計算が煩雑になる。

答え

問1

(1)

$$ \frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x $$

(2)

$$ \int \tan^2 x,dx=\tan x-x+C $$

問2

$$ \int_0^{\pi/4} x\tan^2 x,dx =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2-\frac{\pi^2}{32} $$

問3

$$ V=\frac{\pi^3}{8}-\frac{\pi^2}{2}+\pi\log 2 $$