数学3 体積 問題 41 解説

方針・初手

平面 $\Pi$ は $xy$ 平面上の直線 $y=1$ を含むから、$\Pi$ の方程式は $x$ を含まない形で表せる。まず $\Pi$ の方程式を求め、その後、円柱内で点 $(0,2,0)$ を含む側を積分で体積計算する。

解法1

平面 $\Pi$ は、$xy$ 平面上の直線 $y=1$、すなわち

$$ {(x,1,0)\mid x\in \mathbb{R}} $$

を含む。したがって、$\Pi$ は $x$ 軸方向に平行であり、方程式は

$$ z=a(y-1) $$

の形になる。

また、この平面が $xy$ 平面となす角が $45^\circ$ であるから、$yz$ 平面で見た切り口の直線 $z=a(y-1)$ の傾きの絶対値は $1$ である。よって

$$ |a|=1 $$

である。

さらに、$\Pi$ は点 $(0,2,1)$ を通るので、

$$ 1=a(2-1) $$

より

$$ a=1 $$

である。したがって

$$ \Pi:\ z=y-1 $$

である。

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円柱 $C$ は

$$ x^2+y^2\leqq 4,\qquad 0\leqq z\leqq 1 $$

で与えられる。

点 $(0,2,0)$ では

$$ z=0,\qquad y-1=1 $$

であるから、

$$ 0\leqq y-1 $$

となる。よって、この点を含む側は

$$ z\leqq y-1 $$

で表される側である。

ただし、円柱内では常に $z\geqq 0$ なので、実際にこの不等式を満たすためには $y\geqq 1$ が必要である。したがって求める部分は、

$$ x^2+y^2\leqq 4,\qquad 1\leqq y\leqq 2,\qquad 0\leqq z\leqq y-1 $$

で表される。

よって体積 $V$ は

$$ V=\iint_D (y-1),dx,dy $$

ただし

$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\leqq 4,\ 1\leqq y\leqq 2} $$

である。

$y$ を用いて積分すると、

$$ V=\int_1^2 \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} (y-1),dx,dy $$

となるので、

$$ V=\int_1^2 2\sqrt{4-y^2}(y-1),dy $$

を得る。これを

$$ V=\int_1^2 2y\sqrt{4-y^2},dy-\int_1^2 2\sqrt{4-y^2},dy $$

と分けて計算する。

まず、

$$ \int_1^2 2y\sqrt{4-y^2},dy $$

において $u=4-y^2$ とおくと $du=-2y,dy$ だから、

$$ \int_1^2 2y\sqrt{4-y^2},dy = -\int_3^0 \sqrt{u},du = \int_0^3 \sqrt{u},du = 2\sqrt{3} $$

である。

次に、

$$ \int_1^2 2\sqrt{4-y^2},dy $$

は

$$ \int 2\sqrt{4-y^2},dy = y\sqrt{4-y^2}+4\sin^{-1}\frac{y}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_1^2 2\sqrt{4-y^2},dy &= \left[ y\sqrt{4-y^2}+4\sin^{-1}\frac{y}{2} \right]_1^2 \end{aligned} $$

$$ =2\pi-\left(\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}\right) =\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3} $$

である。

したがって、

$$ V=2\sqrt{3}-\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\right) =3\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3} $$

となる。

解説

平面が直線 $y=1$ を含むことから、方程式を $z=a(y-1)$ と置くのが初手である。これにより、三次元の条件が二次元の傾きの問題に落ちる。

体積計算では、各点 $(x,y)$ の真上にある高さが $y-1$ になると見ると自然である。つまり、底面上の領域 $1\leqq y\leqq 2,\ x^2+y^2\leqq 4$ に対し、高さ $y-1$ を積分すればよい。

答え

求める体積は

$$ 3\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3} $$

である。