数学3 体積 問題 40 解説

方針・初手

直円すいの高さを $H$，底面の半径を $R$ とすると，母線の長さが $L$ であるから

$$ R^2+H^2=L^2 $$

が成り立つ。

また，底面から高さ $h$ の位置における直円すいの断面の半径は，相似より $R\left(1-\dfrac{h}{H}\right)$ である。 図のように内接する直円柱の半径はこれに等しいので，まず体積 $v$ を $h$ の式で表して最大化する。

解法1

直円すいの底面半径を $R$ とすると，

$$ R=\sqrt{L^2-H^2} $$

である。

高さ $h$ の直円柱を内接させたとき，その半径を $r$ とすると，相似より

$$ r=R\left(1-\frac{h}{H}\right) $$

である。

したがって直円柱の体積 $v$ は

$$ v=\pi r^2h =\pi \left\{R\left(1-\frac{h}{H}\right)\right\}^2h =\pi R^2h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 $$

となる。

ここで

$$ x=\frac{h}{H} \qquad (0\le x\le 1) $$

とおくと，

$$ v=\pi R^2H,x(1-x)^2 $$

となるから，$x(1-x)^2$ を最大にすればよい。

$$ f(x)=x(1-x)^2=x-2x^2+x^3 $$

とおくと，

$$ f'(x)=1-4x+3x^2=(3x-1)(x-1) $$

である。よって，$0\le x\le 1$ において極値を与えるのは

$$ x=\frac13 $$

である。

このとき

$$ h=\frac{H}{3} $$

となり，

$$ V=\pi R^2H\cdot \frac13\left(1-\frac13\right)^2 =\pi R^2H\cdot \frac13\cdot \frac49 =\frac{4}{27}\pi R^2H $$

である。さらに $R^2=L^2-H^2$ を用いれば，

$$ V=\frac{4\pi}{27}(L^2-H^2)H $$

を得る。

次に，この $V$ を $H$ について最大にする。

$$ V(H)=\frac{4\pi}{27}(L^2-H^2)H =\frac{4\pi}{27}(L^2H-H^3) $$

とおくと，

$$ V'(H)=\frac{4\pi}{27}(L^2-3H^2) $$

であるから，

$$ V'(H)=0 \iff L^2-3H^2=0 \iff H=\frac{L}{\sqrt3} $$

となる。ただし $0<H<L$ であるから，これが最大値を与える。

したがって，

$$ H=\frac{L}{\sqrt3} $$

のとき $V$ は最大となる。

その最大値は

$$ V=\frac{4\pi}{27}\left(L^2-\frac{L^2}{3}\right)\frac{L}{\sqrt3} =\frac{4\pi}{27}\cdot \frac{2L^2}{3}\cdot \frac{L}{\sqrt3} =\frac{8\pi L^3}{81\sqrt3} $$

より，

$$ V=\frac{8\sqrt3}{243}\pi L^3 $$

である。

さらにこのとき，直円すいの底面半径 $R$ は

$$ R=\sqrt{L^2-H^2} =\sqrt{L^2-\frac{L^2}{3}} =L\sqrt{\frac23} =\frac{\sqrt6}{3}L $$

である。

直円すいの表面積 $S$ は

$$ S=\pi R^2+\pi RL $$

であるから，

$$ S=\pi\cdot \frac{2L^2}{3}+\pi\cdot \frac{\sqrt6}{3}L\cdot L =\frac{2+\sqrt6}{3}\pi L^2 $$

となる。

解説

固定した直円すいの中で内接する直円柱を動かす問題では，直円柱の半径を高さ $h$ で表すことが核心である。 そのために，直円すいの軸を含む断面で相似を使うのが基本手筋である。

（1） では，体積を

$$ v=\pi R^2h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 $$

と表し，$h/H$ を文字で置くと三次関数の最大値の問題に帰着する。

（2） では，（1） で得た最大値 $V$ をさらに $H$ の関数とみて最大化する。 段階的に最大化する二重の最適化であるが，それぞれ一変数関数として処理すればよい。

答え

(1)

$$ V=\frac{4\pi}{27}(L^2-H^2)H $$

(2)

$$ H=\frac{L}{\sqrt3} $$

そのとき

$$ V=\frac{8\pi L^3}{81\sqrt3} =\frac{8\sqrt3}{243}\pi L^3 $$

また，直円すいの表面積は

$$ S=\frac{2+\sqrt6}{3}\pi L^2 $$

である。