数学3 体積 問題 43 解説

方針・初手

回転軸が $y=x$ であるため、通常の $x$ 軸回転・$y$ 軸回転の公式をそのまま使うと扱いにくい。

そこで、領域内の点 $(x,y)$ から直線 $y=x$ までの距離を用いる。微小面積 $dA$ が回転軸から距離 $r$ にあるとき、それを回転してできる微小体積は $2\pi r,dA$ である。

この問題では、$0\leq x\leq 1$ において $x^n\leq y\leq x$ であり、点 $(x,y)$ から直線 $y=x$ までの距離は

$$ \frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

である。

解法1

直線 $y=x$ と曲線 $y=x^n$ の交点を求める。

$$ x=x^n $$

より、

$$ x(x^{n-1}-1)=0 $$

である。$x\geq 0$ だから、交点の $x$ 座標は

$$ x=0,\ 1 $$

である。

また、$0\leq x\leq 1$ では $n\geq 2$ より

$$ x^n\leq x $$

であるから、領域 $D$ は

$$ 0\leq x\leq 1,\qquad x^n\leq y\leq x $$

と表される。

点 $(x,y)$ から直線 $y=x$ までの距離は

$$ r=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}} $$

である。この領域では $y\leq x$ なので、

$$ r=\frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

である。

したがって、回転体の体積 $V_n$ は

$$ V_n=\iint_D 2\pi r,dA $$

で与えられる。よって

$$ V_n=\iint_D 2\pi \cdot \frac{x-y}{\sqrt{2}},dA $$

となる。

これを積分で表すと、

$$ V_n=\sqrt{2}\pi\int_0^1\int_{x^n}^{x}(x-y),dy,dx $$

である。

内側の積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{x^n}^{x}(x-y),dy &=\left[xy-\frac{y^2}{2}\right]_{x^n}^{x}\\ &=\left(x^2-\frac{x^2}{2}\right)-\left(x^{n+1}-\frac{x^{2n}}{2}\right)\\ &=\frac{x^2}{2}-x^{n+1}+\frac{x^{2n}}{2}\\ &=\frac{1}{2}(x-x^n)^2 \end{aligned} $$

したがって、

$$ V_n=\sqrt{2}\pi\int_0^1 \frac{1}{2}(x-x^n)^2,dx $$

である。

すなわち、

$$ V_n=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}\int_0^1 (x^2-2x^{n+1}+x^{2n}),dx $$

となる。

各項を積分すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (x^2-2x^{n+1}+x^{2n}),dx &=\frac{1}{3}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{2n+1} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ V_n=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{2n+1}\right) $$

となる。

これを整理する。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{2n+1} &=\frac{(n+2)(2n+1)-6(2n+1)+3(n+2)}{3(n+2)(2n+1)}\\ &=\frac{2n^2+5n+2-12n-6+3n+6}{3(n+2)(2n+1)}\\ &=\frac{2n^2-4n+2}{3(n+2)(2n+1)}\\ &=\frac{2(n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} \end{aligned} $$

したがって、

$$ V_n =\frac{\sqrt{2}\pi}{2}\cdot \frac{2(n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} $$

より、

$$ V_n=\frac{\sqrt{2}\pi (n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} $$

である。

次に極限を求める。

$$ V_n=\frac{\sqrt{2}\pi (n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}V_n =\sqrt{2}\pi\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} $$

である。

分子・分母を $n^2$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}{3\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} &= \frac{1}{3\cdot 1\cdot 2} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}V_n=\frac{\sqrt{2}\pi}{6} $$

である。

解説

この問題のポイントは、回転軸が座標軸ではなく直線 $y=x$ であることである。

$D$ 内の微小面積を考えれば、その微小面積は回転軸からの距離を半径として円を描く。そのため、回転体の体積は

$$ \iint_D 2\pi\cdot \text{距離},dA $$

で求められる。

この問題では、領域内で常に $y\leq x$ であるため、直線 $y=x$ までの距離が

$$ \frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

と簡単に表せる。あとは、$0\leq x\leq 1$、$x^n\leq y\leq x$ の範囲で二重積分すればよい。

答え

(1)

$$ V_n=\frac{\sqrt{2}\pi (n-1)^2}{3(n+2)(2n+1)} $$

(2)

$$ \lim_{n\to\infty}V_n=\frac{\sqrt{2}\pi}{6} $$