数学3 体積 問題 44 解説

方針・初手

与えられた不等式

$$ x^2+y^2+z^2-2xy-1\leqq 0 $$

は

$$ (x-y)^2+z^2\leqq 1 $$

と変形できる。したがって、平面 $z=t$ で切った断面は、$xy$ 平面上で

$$ |x-y|\leqq \sqrt{1-t^2} $$

をみたす部分になる。これを単位正方形 $0\leqq x\leqq 1,\ 0\leqq y\leqq 1$ の中で考えればよい。

解法1

(1)

平面 $z=t$ で切ると、断面は

$$ 0\leqq x\leqq 1,\quad 0\leqq y\leqq 1,\quad (x-y)^2+t^2\leqq 1 $$

すなわち

$$ 0\leqq x\leqq 1,\quad 0\leqq y\leqq 1,\quad |x-y|\leqq \sqrt{1-t^2} $$

で表される。

ここで

$$ a=\sqrt{1-t^2}\qquad (0\leqq a\leqq 1) $$

とおくと、断面は単位正方形の中で $|x-y|\leqq a$ をみたす部分である。したがって、$xy$ 平面上では直線

$$ y=x-a,\qquad y=x+a $$

にはさまれた帯状の部分であり、単位正方形から右下と左上の二つの二等辺直角三角形を除いた図形になる。

この二つの三角形は、それぞれ脚の長さが $1-a$ であるから、面積は各々

$$ \frac{(1-a)^2}{2} $$

である。よって断面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=1-2\cdot \frac{(1-a)^2}{2} =1-(1-a)^2 $$

となる。$a=\sqrt{1-t^2}$ を戻せば

$$ S(t)=1-\left(1-\sqrt{1-t^2}\right)^2 $$

したがって

$$ S(t)=2\sqrt{1-t^2}-(1-t^2) \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

である。

(2)

体積 $V$ は断面積を $z$ 方向に積分して

$$ V=\int_0^1 S(t),dt $$

で与えられる。したがって

$$ V=\int_0^1 \left\{2\sqrt{1-t^2}-(1-t^2)\right\},dt $$

である。

ここで

$$ \int_0^1 \sqrt{1-t^2},dt=\frac{\pi}{4} $$

は半径 $1$ の円の $4$ 分の $1$ の面積であり、また

$$ \int_0^1 (1-t^2),dt =\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =1-\frac13 =\frac23 $$

であるから、

$$ V=2\cdot \frac{\pi}{4}-\frac23 =\frac{\pi}{2}-\frac23 $$

となる。

解説

この問題の本質は

$$ x^2+y^2+z^2-2xy-1\leqq 0 \iff (x-y)^2+z^2\leqq 1 $$

という変形にある。これにより、$z=t$ で切ったときの断面は、$xy$ 平面内で「$x-y$ の差が一定以下である部分」として読める。

さらに $0\leqq x,y\leqq 1$ という条件があるため、断面は単位正方形全体ではなく、その中の帯状部分になる。面積を直接求めるより、正方形から二つの三角形を引く方が計算が簡潔である。

答え

(1)

$$ S(t)=1-\left(1-\sqrt{1-t^2}\right)^2 =2\sqrt{1-t^2}-(1-t^2) \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

断面は、単位正方形 $0\leqq x\leqq 1,\ 0\leqq y\leqq 1$ の中で

$$ |x-y|\leqq \sqrt{1-t^2} $$

をみたす帯状部分である。

(2)

$$ \frac{\pi}{2}-\frac{2}{3} $$

である。