数学3 体積 問題 47 解説

方針・初手

$V_1$ は円板法でそのまま積分すればよい。

$V_2$ は $y$ 軸まわりの回転体なので、$x$ を用いた円筒殻法で表すのが自然である。すると被積分関数 $f(x)$ がすぐ求まる。

解法1

まず $V_1$ を求める。

$x$ 軸のまわりの回転体であるから、

$$ V_1=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2a}}\sin^2(ax),dx $$

である。ここで $t=ax$ とおくと $dx=\dfrac{dt}{a}$ なので、

$$ V_1=\frac{\pi}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t,dt $$

となる。さらに

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t,dt=\frac{\pi}{4} $$

より、

$$ V_1=\frac{\pi}{a}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{4a} $$

である。したがって ① は

$$ \frac{\pi^2}{4a} $$

である。

次に、$y=\sin ax$ を微分すると

$$ \frac{dy}{dx}=a\cos ax $$

である。したがって ② は

$$ a\cos ax $$

である。

つぎに $V_2$ を求める。領域を $y$ 軸のまわりに回転するので、$x$ を用いた円筒殻法により、半径は $x$、高さは $1-\sin ax$ である。よって

$$ V_2=\int_0^{\frac{\pi}{2a}}2\pi x(1-\sin ax),dx $$

となる。したがって

$$ f(x)=2\pi x(1-\sin ax) $$

であり、③ は

$$ 2\pi x(1-\sin ax) $$

である。

ここで $\int x\sin ax,dx$ を部分積分で求める。$u=x,\ dv=\sin ax,dx$ とすると、

$$ du=dx,\quad v=-\frac{1}{a}\cos ax $$

だから、

$$ \int x\sin ax,dx =-\frac{x}{a}\cos ax+\frac{1}{a}\int \cos ax,dx $$

$$ =-\frac{x}{a}\cos ax+\frac{1}{a^2}\sin ax+C $$

$$ =\frac{1}{a^2}\left(-ax\cos ax+\sin ax\right)+C $$

となる。よって ④ は

$$ -ax\cos ax+\sin ax $$

である。

これを用いて $V_2$ を計算すると、

$$ V_2=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2a}}x(1-\sin ax),dx $$

$$ =2\pi\left[\frac{x^2}{2}-\int x\sin ax,dx\right]_0^{\frac{\pi}{2a}} $$

上で求めた原始関数を代入すると、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2a}}x\sin ax,dx =\left[\frac{1}{a^2}\left(-ax\cos ax+\sin ax\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2a}} =\frac{1}{a^2} $$

であるから、

$$ V_2 =2\pi\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2a}\right)^2-\frac{1}{a^2}\right) $$

$$ =2\pi\left(\frac{\pi^2}{8a^2}-\frac{1}{a^2}\right) =\frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2} $$

したがって ⑤ は

$$ \frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2} $$

である。

最後に $V_1=V_2$ とすると、

$$ \frac{\pi^2}{4a}=\frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2} $$

両辺に $4a^2$ をかけて、

$$ \pi^2 a=\pi(\pi^2-8) $$

$$ a=\frac{\pi^2-8}{\pi} $$

となる。したがって ⑥ は

$$ \frac{\pi^2-8}{\pi} $$

である。

解説

$V_1$ は回転軸が $x$ 軸なので円板法で直接求めればよい。

一方、$V_2$ は $y$ 軸まわりであり、これを $y$ で積分しようとすると $x=\dfrac{1}{a}\arcsin y$ を使うことになる。ここでは $x$ をそのまま使って円筒殻法で処理すると、被積分関数が $2\pi x(1-\sin ax)$ と簡潔になり計算しやすい。

また、$\int x\sin ax,dx$ は部分積分の典型である。ここを正確に処理できるかが要点である。

答え

(1)

$$ \frac{\pi^2}{4a} $$

(2)

$$ a\cos ax $$

(3)

$$ 2\pi x(1-\sin ax) $$

(4)

$$ -ax\cos ax+\sin ax $$

(5)

$$ \frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2} $$

(6)

$$ \frac{\pi^2-8}{\pi} $$