数学3 体積 問題 46 解説

方針・初手

$t=\tan x$ とおくと，$\sin x,\cos x$ は $t$ を用いた有理式で表せる。したがって $\tan 2x$ や $dx/dt$ も同様に整理できる。

また，(2)(b) の回転体の体積は

$$ V=\pi\int y^2,dx $$

で求まるので，ここでも $t=\tan x$ の置換を用いて積分を有理式に直すのが自然である。

解法1

(1)

$t=\tan x$ とおくと，

$$ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} $$

より

$$ \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2} $$

である。さらに

$$ \sin^2 x=\tan^2 x\cos^2 x=t^2\cdot \frac{1}{1+t^2} =\frac{t^2}{1+t^2} $$

となる。

また，倍角公式より

$$ \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} =\frac{2t}{1-t^2} $$

である。

さらに $t=\tan x$ を微分すると

$$ \frac{dt}{dx}=\sec^2 x=1+\tan^2 x=1+t^2 $$

であるから，

$$ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2} $$

となる。

(2)(a)

まず $u=\tan \dfrac{\pi}{8}$ とおく。すると

$$ \tan \frac{\pi}{4} =\tan\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) =\frac{2u}{1-u^2} $$

であり，$\tan \dfrac{\pi}{4}=1$ だから

$$ 1=\frac{2u}{1-u^2} $$

すなわち

$$ u^2+2u-1=0 $$

を得る。これを解くと

$$ u=-1\pm \sqrt{2} $$

である。$\dfrac{\pi}{8}$ は第1象限にあるので $\tan \dfrac{\pi}{8}>0$ であるから，

$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$

となる。

次に，

$$ \tan \frac{3\pi}{8} =\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =\cot \frac{\pi}{8} =\frac{1}{\tan (\pi/8)} $$

より

$$ \tan \frac{3\pi}{8} =\frac{1}{\sqrt{2}-1} =\sqrt{2}+1 $$

である。

(2)(b)

求める体積を $V$ とすると，

$$ V=\pi\int_{\pi/8}^{3\pi/8} \left(\frac{\sqrt{3}}{\sin x\cos^2 x}\right)^2 dx =3\pi\int_{\pi/8}^{3\pi/8}\frac{1}{\sin^2 x\cos^4 x},dx $$

である。

ここで $t=\tan x$ とおく。すると （1） より

$$ \sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2},\qquad dx=\frac{1}{1+t^2},dt $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sin^2 x\cos^4 x} &= \frac{1}{\dfrac{t^2}{1+t^2}\cdot \left(\dfrac{1}{1+t^2}\right)^2} \\ \frac{(1+t^2)^3}{t^2} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ V =3\pi\int \frac{(1+t^2)^3}{t^2}\cdot \frac{1}{1+t^2},dt =3\pi\int \frac{(1+t^2)^2}{t^2},dt $$

である。

積分区間は (2)(a) より

$$ x=\frac{\pi}{8}\ \Rightarrow\ t=\sqrt{2}-1,\qquad x=\frac{3\pi}{8}\ \Rightarrow\ t=\sqrt{2}+1 $$

だから，

$$ V =3\pi\int_{\sqrt{2}-1}^{\sqrt{2}+1} \left(t^2+2+\frac{1}{t^2}\right)dt $$

となる。これを積分すると

$$ V =3\pi\left[ \frac{t^3}{3}+2t-\frac{1}{t} \right]_{\sqrt{2}-1}^{\sqrt{2}+1} $$

である。

$a=\sqrt{2}-1,\ b=\sqrt{2}+1$ とおくと，$ab=1,\ b-a=2,\ a+b=2\sqrt{2}$ である。したがって

$$ V =3\pi\left(\frac{b^3-a^3}{3}+2(b-a)-\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\right) $$

であるが，$ab=1$ より $\dfrac{1}{b}=a,\ \dfrac{1}{a}=b$ だから

$$ V =3\pi\left(\frac{b^3-a^3}{3}+3(b-a)\right) =\pi(b^3-a^3)+9\pi(b-a) $$

となる。

さらに

$$ b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2) $$

であり，

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=8-2=6 $$

より

$$ a^2+ab+b^2=6+1=7 $$

であるから，

$$ b^3-a^3=2\cdot 7=14 $$

となる。よって

$$ V=14\pi+9\pi\cdot 2=32\pi $$

である。

解説

この問題の要点は，$t=\tan x$ の置換によって三角関数を有理式に直すことである。特に

$$ \sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2},\qquad dx=\frac{dt}{1+t^2} $$

の3つを確実に出せることが重要である。

(2)(a) は倍角公式で $\tan \dfrac{\pi}{8}$ を求め，$\tan \dfrac{3\pi}{8}$ は余角の関係から逆数として出すのが最短である。

(2)(b) は見た目は複雑であるが，$t=\tan x$ によって積分が多項式と $t^{-2}$ の和に変わるため，計算は標準的になる。

答え

(1)

$$ [き]=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad [く]=\frac{1}{1+t^2},\qquad [け]=\frac{2t}{1-t^2},\qquad [こ]=\frac{1}{1+t^2} $$

(2)

(a)

$$ [さ]=\sqrt{2}-1,\qquad [し]=\sqrt{2}+1 $$

(b)

$$ [す]=32\pi $$