数学3 体積 問題 52 解説

方針・初手

円柱 $C_1,\ C_2$ はそれぞれ

$$ C_1:\ y^2+z^2\leqq 1,\qquad C_2:\ x^2+z^2\leqq 1 $$

で表される。

したがって、平面 $z=u$ で切ると、共通部分 $C_1\cap C_2$ の切断面は $x,\ y$ について独立に制限される長方形、実際には正方形になる。

あとは条件 $y\leqq \dfrac12$ を加えたとき、上側が切り落とされるかどうかで場合分けすればよい。

解法1

平面 $z=u\ (-1\leqq u\leqq 1)$ を考える。

このとき $C_1,\ C_2$ の条件はそれぞれ

$$ y^2+u^2\leqq 1,\qquad x^2+u^2\leqq 1 $$

となるから、

$$ |x|\leqq \sqrt{1-u^2},\qquad |y|\leqq \sqrt{1-u^2} $$

である。

$a=\sqrt{1-u^2}$ とおくと、平面 $z=u$ による $C_1\cap C_2$ の切断面は

$$ -a\leqq x\leqq a,\qquad -a\leqq y\leqq a $$

で表される一辺 $2a$ の正方形である。

ここからさらに $K$ は $y\leqq \dfrac12$ を満たす部分なので、切断面の面積を $S(u)$ とすると、$a$ と $\dfrac12$ の大小で場合分けすればよい。

(i)

$a\leqq \dfrac12$ のとき

このとき正方形全体が $y\leqq \dfrac12$ の範囲に入るので、

$$ S(u)=(2a)^2=4a^2=4(1-u^2) $$

である。

(ii)

$a>\dfrac12$ のとき

このとき $y=\dfrac12$ で上側が切り落とされる。したがって $y$ の取りうる範囲は

$$ -a\leqq y\leqq \frac12 $$

であり、その長さは $a+\dfrac12$ である。よって面積は

$$ S(u)=2a\left(a+\frac12\right) =2a^2+a =2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2} $$

となる。

さて、場合分けの境目は

$$ a=\frac12 $$

すなわち

$$ \sqrt{1-u^2}=\frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad u^2=\frac34 \quad\Longleftrightarrow\quad |u|=\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

したがって、切断面積は

$$ S(u)= \begin{cases} 2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2} & \left(|u|<\dfrac{\sqrt3}{2}\right),\\[1mm] 4(1-u^2) & \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\leqq |u|\leqq 1\right). \end{cases} $$

次に体積を求める。$S(u)$ は偶関数なので、

$$ V =2\left\{ \int_0^{\sqrt3/2}\left(2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2}\right),du +\int_{\sqrt3/2}^1 4(1-u^2),du \right\} $$

である。

まず、

$$ \int_0^{\sqrt3/2}2(1-u^2),du =2\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_0^{\sqrt3/2} =\frac{3\sqrt3}{4} $$

また、

$$ \int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-u^2},du =\frac12\left[u\sqrt{1-u^2}+\sin^{-1}u\right]_0^{\sqrt3/2} =\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} $$

であるから、

$$ \int_0^{\sqrt3/2}\left(2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2}\right),du =\frac{7\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} $$

つぎに、

$$ \int_{\sqrt3/2}^1 4(1-u^2),du =4\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{\sqrt3/2}^1 =\frac83-\frac{3\sqrt3}{2} $$

である。

よって、

$$ V =2\left( \frac{7\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} +\frac83-\frac{3\sqrt3}{2} \right) =2\left( \frac83-\frac{5\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} \right) $$

したがって、

$$ V=\frac{16}{3}-\frac{5\sqrt3}{4}+\frac{\pi}{3} $$

となる。

解説

2本の直交する円柱の共通部分を平面 $z=u$ で切ると、断面が正方形になることが本問の核心である。

さらに $y\leqq \dfrac12$ という条件は、その正方形の上側を一直線で切る条件になっている。したがって、$\sqrt{1-u^2}$ が $\dfrac12$ より大きいか小さいかで場合分けすれば、断面積は素直に求まる。

体積は断面積を $z$ について積分すればよい。$\sqrt{1-u^2}$ を含む積分が出るが、これは半円の面積公式に対応する基本積分で処理できる。

答え

(1)

平面 $z=u\ (-1\leqq u\leqq 1)$ による $K$ の切断面の面積は

$$ \begin{cases} 2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2} & \left(|u|<\dfrac{\sqrt3}{2}\right),\\[1mm] 4(1-u^2) & \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\leqq |u|\leqq 1\right) \end{cases} $$

である。

(2)

$K$ の体積は

$$ \frac{16}{3}-\frac{5\sqrt3}{4}+\frac{\pi}{3} $$

である。