数学3 体積 問題 57 解説

方針・初手

球 $T_1,\ T_2,\ S$ の中心をそれぞれ $O_1,\ O_2,\ P$ とする。

半径 $1$ の球 $S$ が半径 $3$ の球 $T_1$ の内部にあるための条件は $PO_1\le 2$ であり、また半径 $1$ の球 $S$ が半径 $1$ の球 $T_2$ の外部にあるか外接するための条件は $PO_2\ge 2$ である。

したがって、$S$ の中心 $P$ の存在範囲 $D$ は

$$ PO_1\le 2,\qquad PO_2\ge 2 $$

を同時に満たす領域である。

ここで $T_1$ と $T_2$ は内接しているから、

$$ O_1O_2=3-1=2 $$

である。よって、半径 $2$ の球どうしの位置関係に直して考えればよい。

解法1

座標を

$$ O_1=(0,0,0),\qquad O_2=(2,0,0) $$

とおく。

このとき $D$ は

$$ x^2+y^2+z^2\le 4 $$

かつ

$$ (x-2)^2+y^2+z^2\ge 4 $$

を満たす点全体である。

$x$ を固定して断面積を考える。

（i） $-2\le x\le 0$ のとき

球 $O_1$ を中心とする半径 $2$ の球の断面は半径 $\sqrt{4-x^2}$ の円であり、面積は

$$ \pi(4-x^2) $$

である。

一方、

$$ (x-2)^2\ge 4 $$

より、この範囲では条件 $(x-2)^2+y^2+z^2\ge 4$ は自動的に満たされる。したがって断面積はそのまま

$$ \pi(4-x^2) $$

である。

（ii） $0\le x\le 1$ のとき

このとき、条件

$$ x^2+y^2+z^2\le 4 $$

は

$$ y^2+z^2\le 4-x^2 $$

を表す。

また

$$ (x-2)^2+y^2+z^2\ge 4 $$

は

$$ y^2+z^2\ge 4-(x-2)^2=4x-x^2 $$

を表す。

したがって断面は、外半径 $\sqrt{4-x^2}$、内半径 $\sqrt{4x-x^2}$ の円環であり、その面積は

$$ \pi\bigl((4-x^2)-(4x-x^2)\bigr)=4\pi(1-x) $$

である。

（iii） $x>1$ のとき

このとき

$$ 4x-x^2>4-x^2 $$

となるので、断面は存在しない。

以上より、体積は

$$ \begin{aligned} V &=\int_{-2}^{0}\pi(4-x^2),dx+\int_{0}^{1}4\pi(1-x),dx \\ &=\pi\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]*{-2}^{0}+4\pi\left[x-\frac{x^2}{2}\right]*{0}^{1} \\ &=\pi\left(0-(-8+\frac{8}{3})\right)+4\pi\left(1-\frac12\right) \\ &=\frac{16\pi}{3}+2\pi \\ &=\frac{22\pi}{3}. \end{aligned} $$

解法2

$D$ は、中心 $O_1$、半径 $2$ の球から、中心 $O_2$、半径 $2$ の球との共通部分を取り除いた領域である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \text{体積}(D) &= \text{半径 }2\text{ の球の体積} \\ \text{2つの半径 }2\text{ の球の共通部分の体積} \end{aligned} $$

である。

半径 $2$ の球の体積は

$$ \frac43\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3} $$

である。

次に共通部分を考える。$O_1O_2=2$ であるから、共通部分は、2つの合同な球冠に分けられる。共通円の平面は $O_1O_2$ の中点を通るので、各球冠の高さは

$$ 2-1=1 $$

である。

半径 $R$、高さ $h$ の球冠の体積は

$$ \pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right) $$

であるから、$R=2,\ h=1$ を代入して

$$ \pi\cdot 1^2\left(2-\frac13\right)=\frac{5\pi}{3} $$

となる。

よって共通部分全体の体積は

$$ 2\cdot \frac{5\pi}{3}=\frac{10\pi}{3} $$

であり、

$$ \text{体積}(D)=\frac{32\pi}{3}-\frac{10\pi}{3}=\frac{22\pi}{3} $$

となる。

解説

この問題の本質は、「動く球 $S$」そのものではなく、「その中心 $P$ の動く範囲」を考えることである。

半径 $1$ の球が半径 $3$ の球の内部にある条件は、中心間距離が $3-1=2$ 以下であることに対応し、半径 $1$ の球どうしが外部にあるか外接する条件は、中心間距離が $1+1=2$ 以上であることに対応する。

したがって、中心の存在範囲は「半径 $2$ の球の内部」から「別の半径 $2$ の球の内部」を除いた領域になる。ここまで言い換えられれば、あとは断面積で積分するか、共通部分を球冠として処理すればよい。

答え

立体 $D$ の体積は

$$ \frac{22\pi}{3} $$

である。