数学3 体積 問題 56 解説

方針・初手

対角線 $OF$ を軸とする回転体なので、$OF$ に垂直な平面で立方体を切った断面を考えるのが自然である。

軸 $OF$ の方向ベクトルは $(1,1,1)$ であるから、これに垂直な平面は

$$ x+y+z=s $$

と表せる。この平面で立方体を切った断面を回転させると、その断面の外接円を半径とする円板になる。したがって、各 $s$ における断面の最大半径を求めて積分すればよい。

解法1

軸 $OF$ 上で、平面 $x+y+z=s$ と $OF$ との交点を $P_s$ とする。

$OF$ は $x=y=z$ であるから、

$$ P_s=\left(\frac{s}{3},\frac{s}{3},\frac{s}{3}\right) $$

である。

また、平面 $x+y+z=s$ は $OF$ に垂直であり、$s$ の範囲によって断面の形が変わる。

（i） $0\le s\le 1$ のとき

断面は頂点

$$ (s,0,0),\ (0,s,0),\ (0,0,s) $$

をもつ正三角形である。

この正三角形の中心は $P_s$ であり、回転後の断面円板の半径 $r(s)$ は、例えば頂点 $(s,0,0)$ までの距離である。

$$ r(s)^2=\left(s-\frac{s}{3}\right)^2+\left(0-\frac{s}{3}\right)^2+\left(0-\frac{s}{3}\right)^2 $$

$$ =\left(\frac{2s}{3}\right)^2+\left(-\frac{s}{3}\right)^2+\left(-\frac{s}{3}\right)^2 =\frac{6s^2}{9} =\frac{2}{3}s^2 $$

したがって、

$$ r(s)^2=\frac{2}{3}s^2 \qquad (0\le s\le 1) $$

である。

（ii） $1\le s\le 2$ のとき

断面は正六角形になる。その頂点の一つは $(1,s-1,0)$ であり、中心はやはり $P_s$ であるから、

$$ r(s)^2=\left(1-\frac{s}{3}\right)^2+\left((s-1)-\frac{s}{3}\right)^2+\left(0-\frac{s}{3}\right)^2 $$

$$ =\left(1-\frac{s}{3}\right)^2+\left(\frac{2s}{3}-1\right)^2+\left(\frac{s}{3}\right)^2 $$

これを整理すると、

$$ r(s)^2 =2-2s+\frac{2}{3}s^2 \qquad (1\le s\le 2) $$

となる。

（iii） $2\le s\le 3$ のとき

対称性より、断面は再び正三角形となり、

$$ r(s)^2=\frac{2}{3}(3-s)^2 \qquad (2\le s\le 3) $$

である。

平面 $x+y+z=s$ と $x+y+z=s+ds$ の間の軸方向の距離は、

$$ \frac{ds}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{ds}{\sqrt3} $$

である。したがって体積 $V$ は

$$ V=\frac{\pi}{\sqrt3}\int_0^3 r(s)^2,ds $$

となる。

よって

$$ V=\frac{\pi}{\sqrt3} \left( \int_0^1 \frac{2}{3}s^2,ds +\int_1^2 \left(2-2s+\frac{2}{3}s^2\right),ds +\int_2^3 \frac{2}{3}(3-s)^2,ds \right) $$

である。

まず、

$$ \int_0^1 \frac{2}{3}s^2,ds=\frac{2}{9}, \qquad \int_2^3 \frac{2}{3}(3-s)^2,ds=\frac{2}{9} $$

である。

また、

$$ \int_1^2 \left(2-2s+\frac{2}{3}s^2\right),ds =\left[2s-s^2+\frac{2}{9}s^3\right]_1^2 =\frac{5}{9} $$

であるから、

$$ \int_0^3 r(s)^2,ds =\frac{2}{9}+\frac{5}{9}+\frac{2}{9} =1 $$

となる。

したがって、

$$ V=\frac{\pi}{\sqrt3} $$

である。

解説

この問題の要点は、回転軸に垂直な断面を取ることである。立方体を対角線方向に切ると、断面は

• $0\le s\le 1$ で正三角形
• $1\le s\le 2$ で正六角形
• $2\le s\le 3$ で正三角形

と変化する。

各断面を回転すると円板になるので、その半径を求めて積分すれば体積が出る。空間図形の回転体では、軸に垂直な断面を使う発想が有効である。

答え

$$ \frac{\pi}{\sqrt3} $$