数学3 体積 問題 70 解説

方針・初手

各 $s$ に対して，点 $P(s^r,0)$，$Q(0,(1-s)^r)$ を通る直線の方程式をまず立てる。

この直線が点 $(f(s),g(s))$ で曲線 $C$ に接するということは，

• 点 $(f(s),g(s))$ がその直線上にあること
• その直線の傾きと，曲線 $C$ の接線の傾きが一致すること

の2条件に言い換えられる。これを式にして $f,g$ を決定する。

解法1

点 $P,Q$ を通る直線を $\ell_s$ とすると，その方程式は

$$ \frac{x}{s^r}+\frac{y}{(1-s)^r}=1 $$

である。

条件より，$\ell_s$ は点 $(f(s),g(s))$ において曲線 $C$ に接するから，まず

$$ \frac{f(s)}{s^r}+\frac{g(s)}{(1-s)^r}=1 \tag{1} $$

が成り立つ。

また，$\ell_s$ が $C$ に接するので，固定した $s$ に対し

$$ \Phi(t)=\frac{f(t)}{s^r}+\frac{g(t)}{(1-s)^r}-1 $$

とおくと，$t=s$ は $\Phi(t)=0$ の重解である。したがって

$$ \Phi'(s)=\frac{f'(s)}{s^r}+\frac{g'(s)}{(1-s)^r}=0 \tag{2} $$

も成り立つ。

ここで，(1) を $s$ で微分すると

$$ \frac{f'(s)}{s^r}-\frac{r f(s)}{s^{r+1}} +\frac{g'(s)}{(1-s)^r} +\frac{r g(s)}{(1-s)^{r+1}}=0 \tag{3} $$

を得る。

(3) から (2) を引くと

$$ -\frac{r f(s)}{s^{r+1}}+\frac{r g(s)}{(1-s)^{r+1}}=0 $$

すなわち

$$ \frac{f(s)}{s^{r+1}}=\frac{g(s)}{(1-s)^{r+1}} $$

となる。

そこで共通の値を $k(s)$ とおくと

$$ f(s)=s^{r+1}k(s),\qquad g(s)=(1-s)^{r+1}k(s) $$

である。これを (1) に代入すると

$$ \frac{s^{r+1}k(s)}{s^r}+\frac{(1-s)^{r+1}k(s)}{(1-s)^r}=1 $$

すなわち

$$ sk(s)+(1-s)k(s)=1 $$

より

$$ k(s)=1 $$

である。したがって

$$ f(s)=s^{r+1},\qquad g(s)=(1-s)^{r+1} $$

を得る。変数名を $t$ に戻せば，

$$ f(t)=t^{r+1},\qquad g(t)=(1-t)^{r+1} $$

である。

つぎに （2） を考える。

$r=\dfrac12$ のとき，

$$ x=t^{3/2},\qquad y=(1-t)^{3/2} \qquad (0\le t\le 1) $$

である。

$x=t^{3/2}$ より

$$ t=x^{2/3} $$

だから，曲線 $C$ は

$$ y=(1-x^{2/3})^{3/2} \qquad (0\le x\le 1) $$

と表せる。

よって，$C$ と $x$ 軸，$y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^1 y^2,dx =\pi\int_0^1 (1-x^{2/3})^3,dx $$

である。

これを展開すると

$$ V=\pi\int_0^1 \left(1-3x^{2/3}+3x^{4/3}-x^2\right),dx $$

となるので，

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left[x-\frac95 x^{5/3}+\frac97 x^{7/3}-\frac13 x^3\right]_0^1 \\ &=\pi\left(1-\frac95+\frac97-\frac13\right) \\ &=\pi\cdot \frac{16}{105}. \end{aligned} $$

したがって

$$ V=\frac{16\pi}{105} $$

である。

解説

この問題の本質は，直線族

$$ \frac{x}{s^r}+\frac{y}{(1-s)^r}=1 $$

の包絡線を求めることにある。接するという条件を，

• 曲線上の点がその直線上にある
• その点での接線条件が成り立つ

という2本の式に分けると，$f(t),g(t)$ が自然に決まる。

（2） では媒介変数のままでも計算できるが，$t=x^{2/3}$ と直して $y$ を $x$ の関数で表すと，通常の回転体の公式

$$ V=\pi\int y^2,dx $$

がそのまま使えて処理しやすい。

答え

(1)

$$ f(t)=t^{r+1},\qquad g(t)=(1-t)^{r+1} \qquad (0\le t\le 1) $$

(2)

$$ \frac{16\pi}{105} $$