数学3 体積 問題 71 解説

方針・初手

絶対値 $|x-2t|$ の符号は $t=\dfrac{x}{2}$ を境に変わる。したがってまず

$$ f(x)=\int_0^{x/2}(x-2t)\sin t,dt+\int_{x/2}^{\pi/2}(2t-x)\sin t,dt $$

と分けて扱うのが基本である。

そのうえで、（1） では必要な不定積分を求め、（2） では $f(x)$ を具体的に表して最小値を調べ、（3） では $y=f(x)-f(0)$ を回転して体積を積分で求める。

解法1

（1） まず不定積分を求める。

$\displaystyle \int t\sin at,dt$ は部分積分を用いる。 $u=t,\ dv=\sin at,dt$ とおくと

$$ du=dt,\quad v=-\frac{1}{a}\cos at $$

より

$$ \int t\sin at,dt =-\frac{t}{a}\cos at+\frac{1}{a}\int \cos at,dt =-\frac{t}{a}\cos at+\frac{1}{a^2}\sin at+C $$

である。

次に

$$ \sin^2\frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{2} $$

を用いれば

$$ \int \sin^2\frac{t}{2},dt =\int \frac{1-\cos t}{2},dt =\frac{t}{2}-\frac{\sin t}{2}+C $$

となる。

(2)

$0\le x\le \pi$ であるから、$0\le \dfrac{x}{2}\le \dfrac{\pi}{2}$ である。したがって

$$ f(x)=\int_0^{x/2}(x-2t)\sin t,dt+\int_{x/2}^{\pi/2}(2t-x)\sin t,dt $$

である。

これを計算すると

$$ \begin{aligned} f(x) &=x\int_0^{x/2}\sin t,dt-2\int_0^{x/2}t\sin t,dt +2\int_{x/2}^{\pi/2}t\sin t,dt-x\int_{x/2}^{\pi/2}\sin t,dt \end{aligned} $$

となる。

ここで （1） の結果 $\displaystyle \int t\sin t,dt=-t\cos t+\sin t+C$ を用いると

$$ \int_0^{x/2}\sin t,dt=1-\cos\frac{x}{2},\qquad \int_{x/2}^{\pi/2}\sin t,dt=\cos\frac{x}{2} $$

および

$$ \int_0^{x/2}t\sin t,dt =-\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}, $$

$$ \int_{x/2}^{\pi/2}t\sin t,dt =1+\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2} $$

だから、

$$ \begin{aligned} f(x) &=x\left(1-\cos\frac{x}{2}\right) -2\left(-\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right) \\ &\qquad +2\left(1+\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right) -x\cos\frac{x}{2} \\ &=x+2-4\sin\frac{x}{2} \end{aligned} $$

を得る。

よって

$$ f'(x)=1-2\cos\frac{x}{2},\qquad f''(x)=\sin\frac{x}{2} $$

である。$0<x<\pi$ では $f''(x)>0$ だから、$f(x)$ は下に凸であり、極値は $f'(x)=0$ を満たす点で最小になる。

$$ 1-2\cos\frac{x}{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\frac{x}{2}=\frac12 $$

ここで $0\le \dfrac{x}{2}\le \dfrac{\pi}{2}$ より

$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{2\pi}{3} $$

である。

このとき

$$ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) =\frac{2\pi}{3}+2-4\sin\frac{\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}+2-2\sqrt{3} $$

となる。したがって最小値は

$$ 2+\frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3} $$

であり、そのときの $x$ は

$$ x=\frac{2\pi}{3} $$

である。

（3） まず

$$ f(0)=2 $$

だから、

$$ y=f(x)-f(0)=x-4\sin\frac{x}{2} $$

である。

この関数を

$$ g(x)=x-4\sin\frac{x}{2} $$

とおくと

$$ g'(x)=1-2\cos\frac{x}{2},\qquad g''(x)=\sin\frac{x}{2}\ge 0 $$

であり、$x=\dfrac{2\pi}{3}$ で最小となる。また

$$ g(0)=0,\qquad g(\pi)=\pi-4<0 $$

より、$0<x\le \pi$ では $g(x)<0$ である。したがって、求める回転体の体積は

$$ V=\pi\int_0^\pi \left(x-4\sin\frac{x}{2}\right)^2 dx $$

となる。

これを展開すると

$$ V=\pi\int_0^\pi \left(x^2-8x\sin\frac{x}{2}+16\sin^2\frac{x}{2}\right)dx $$

である。

各項を順に計算する。

まず

$$ \int_0^\pi x^2,dx=\frac{\pi^3}{3} $$

である。

次に

$$ \int x\sin\frac{x}{2},dx =-2x\cos\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}+C $$

より

$$ \int_0^\pi x\sin\frac{x}{2},dx =\left[-2x\cos\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}\right]_0^\pi =4 $$

したがって

$$ -8\int_0^\pi x\sin\frac{x}{2},dx=-32 $$

である。

さらに （1） の結果を用いれば

$$ \int_0^\pi \sin^2\frac{x}{2},dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}\right]_0^\pi =\frac{\pi}{2} $$

なので

$$ 16\int_0^\pi \sin^2\frac{x}{2},dx=8\pi $$

である。

以上より

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left(\frac{\pi^3}{3}-32+8\pi\right) \\ &=\frac{\pi^4}{3}+8\pi^2-32\pi \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の核心は、$|x-2t|$ をそのまま扱わず、$t=\dfrac{x}{2}$ で積分を分けることである。ここを外すと計算が進まない。

また、（1） の不定積分は （2） と （3） の計算準備になっている。特に

$$ \int t\sin t,dt,\qquad \int \sin^2\frac{t}{2},dt $$

はそのまま使う形で現れる。

（2） では $f(x)$ を明示式 $x+2-4\sin\dfrac{x}{2}$ に直してしまえば、微分で最小値が素直に求まる。 （3） では $y=f(x)-f(0)$ が $x$ 軸より下にあることを確認し、回転体の体積を

$$ V=\pi\int (\text{半径})^2,dx $$

で処理するのが標準である。

答え

(1)

$$ \int t\sin at,dt=-\frac{t}{a}\cos at+\frac{1}{a^2}\sin at+C $$

$$ \int \sin^2\frac{t}{2},dt=\frac{t}{2}-\frac{\sin t}{2}+C $$

(2)

最小値は

$$ 2+\frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3} $$

であり、そのとき

$$ x=\frac{2\pi}{3} $$

である。

(3)

回転体の体積は

$$ V=\frac{\pi^4}{3}+8\pi^2-32\pi $$

である。