数学3 体積 問題 72 解説

方針・初手

（1） 球の中心を $O$ とし，$O$ から直線 $l$ までの距離を $d$ とおく。直線 $l$ と球の交わりは，中心から距離 $d$ の位置でできる弦であるから，その長さを用いて $d$ を求める。

（2） 直線 $l$ を回転軸とみなし，$l$ に垂直な平面で切った断面を考える。各断面が回転によってつくる図形の面積を $z$ の関数として表し，それを積分して体積を求める。

解法1

(1)

半径が $1$ の球において，中心から距離 $d$ の位置で切った弦の長さは

$$ 2\sqrt{1-d^2} $$

である。

これが $\sqrt{3}$ に等しいから，

$$ 2\sqrt{1-d^2}=\sqrt{3} $$

より，

$$ \sqrt{1-d^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

したがって，

$$ 1-d^2=\frac{3}{4} $$

$$ d^2=\frac{1}{4} $$

$$ d=\frac{1}{2} $$

よって，求める距離は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

(2)

直線 $l$ を $z$ 軸とする座標をとる。（1） より，球の中心 $O$ はこの軸から距離 $\dfrac12$ だけ離れているので，$xy$ 平面上で $O=\left(\dfrac12,0,0\right)$ としてよい。

高さ $z$ で $l$ に垂直な平面で切ると，球の断面は半径

$$ \sqrt{1-z^2} $$

の円である。

この円の中心は回転軸 $l$ から距離 $\dfrac12$ だけ離れているから，この断面を $l$ のまわりに回転すると，できる図形は次のようになる。

(i)

$\sqrt{1-z^2}\ge \dfrac12$，すなわち $|z|\le \dfrac{\sqrt3}{2}$ のとき

断面円が回転軸を含むので，回転後の断面は半径

$$ \frac12+\sqrt{1-z^2} $$

の円盤になる。

したがって断面積は

$$ \pi\left(\frac12+\sqrt{1-z^2}\right)^2 $$

である。

(ii)

$\sqrt{1-z^2}< \dfrac12$，すなわち $\dfrac{\sqrt3}{2}<|z|\le 1$ のとき

回転後の断面は，外半径 $\dfrac12+\sqrt{1-z^2}$，内半径 $\dfrac12-\sqrt{1-z^2}$ の円環になる。

したがって断面積は

$$ \pi\left\{\left(\frac12+\sqrt{1-z^2}\right)^2-\left(\frac12-\sqrt{1-z^2}\right)^2\right\} =2\pi\sqrt{1-z^2} $$

である。

以上より，求める体積 $V$ は

$$ V = 2\int_0^{\sqrt3/2}\pi\left(\frac12+\sqrt{1-z^2}\right)^2,dz + 2\int_{\sqrt3/2}^{1}2\pi\sqrt{1-z^2},dz $$

となる。

これを計算すると，

$$ \begin{aligned} V &= 2\pi\int_0^{\sqrt3/2}\left(\frac54-z^2+\sqrt{1-z^2}\right),dz + 4\pi\int_{\sqrt3/2}^{1}\sqrt{1-z^2},dz \end{aligned} $$

ここで，

$$ \begin{aligned} \int \sqrt{1-z^2},dz &= \frac12\left(z\sqrt{1-z^2}+\sin^{-1}z\right) \end{aligned} $$

を用いる。

まず，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt3/2}\left(\frac54-z^2\right),dz &= \frac{\sqrt3}{2} \end{aligned} $$

また，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-z^2},dz &= \frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

さらに，

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt3/2}^{1}\sqrt{1-z^2},dz &= \frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} V &= 2\pi\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6}\right) + 4\pi\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\right) \\ &= \frac{3\sqrt3}{4}\pi+\frac{2}{3}\pi^2 \end{aligned} $$

よって，求める体積は

$$ \frac{3\sqrt3}{4}\pi+\frac{2}{3}\pi^2 $$

である。

解説

（1） は球の弦の長さの公式をそのまま用いる典型問題である。

（2） は回転後の立体全体を直接とらえようとすると見通しが悪いが，回転軸に垂直な断面を考えると，円盤になる場合と円環になる場合に自然に分かれる。断面積を場合分けして積分するのが最も確実である。

答え

(1)

$B$ の中心と直線 $l$ との距離は

$$ \frac{1}{2} $$

(2)

$l$ のまわりに $B$ を $1$ 回転してできる立体の体積は

$$ \frac{3\sqrt3}{4}\pi+\frac{2}{3}\pi^2 $$