数学3 体積 問題 75 解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $a$ とおくと，接線の式は微分を使って書ける。これが原点を通る条件から $a$ を決めればよい。

その後，領域 $D$ は $x$ 軸との交点 $x=\dfrac1k$ で形が変わるので，$x$ 軸まわりの回転では積分を分けて考える。一方，$y$ 軸まわりの回転では $x$ を $y$ の式で表すと，$0\le y\le 1$ の1本の積分で処理できる。

解法1

曲線

$$ y=\log(kx)\qquad (x>0) $$

を考える。

微分すると

$$ y'=\frac1x $$

である。

接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接点は

$$ \left(a,\log(ka)\right) $$

であり，そこでの接線は

$$ y=\log(ka)+\frac1a(x-a) $$

である。

この接線が原点 $O(0,0)$ を通るから，

$$ 0=\log(ka)-1 $$

となる。したがって

$$ \log(ka)=1 $$

より

$$ ka=e,\qquad a=\frac{e}{k} $$

である。

よって接線 $l$ は

$$ y=\frac1a x=\frac{k}{e}x $$

となる。

また，曲線 $C$ と $x$ 軸の交点は

$$ \log(kx)=0 $$

より

$$ x=\frac1k $$

である。

さらに，接点では

$$ \left(\frac{e}{k},1\right) $$

となる。

（1） 接線 $l$ の方程式

以上より

$$ l:\ y=\frac{k}{e}x $$

である。

（2） $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V_x$

$0\le x\le \dfrac1k$ では，領域 $D$ は $x$ 軸と直線 $l$ にはさまれる。

$\dfrac1k\le x\le \dfrac{e}{k}$ では，領域 $D$ は曲線 $C$ と直線 $l$ にはさまれる。

したがって

$$ \begin{aligned} V_x &=\pi\int_0^{1/k}\left(\frac{k}{e}x\right)^2dx +\pi\int_{1/k}^{e/k}\left\{\left(\frac{k}{e}x\right)^2-(\log(kx))^2\right\}dx \\ &=\pi\int_0^{e/k}\left(\frac{k}{e}x\right)^2dx -\pi\int_{1/k}^{e/k}(\log(kx))^2dx \end{aligned} $$

である。

まず

$$ \pi\int_0^{e/k}\left(\frac{k}{e}x\right)^2dx =\pi\cdot \frac{k^2}{e^2}\cdot \frac{(e/k)^3}{3} =\frac{\pi e}{3k} $$

である。

次に

$$ u=kx $$

とおくと $dx=\dfrac{du}{k}$ であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{1/k}^{e/k}(\log(kx))^2dx &=\frac1k\int_1^e(\log u)^2du \end{aligned} $$

ここで

$$ \int (\log u)^2du =u\left\{(\log u)^2-2\log u+2\right\} $$

だから，

$$ \begin{aligned} \int_{1/k}^{e/k}(\log(kx))^2dx &=\frac1k\left[u\left\{(\log u)^2-2\log u+2\right\}\right]_1^e \\ &=\frac1k(e-2) \end{aligned} $$

よって

$$ \begin{aligned} V_x &=\frac{\pi e}{3k}-\frac{\pi(e-2)}{k} \\ &=\frac{\pi}{k}\left(\frac{e}{3}-e+2\right) \\ &=\frac{2\pi(3-e)}{3k} \end{aligned} $$

したがって

$$ V_x=\frac{2\pi(3-e)}{3k} $$

である。

（3） $D$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V_y$

今度は $x$ を $y$ の式で表す。

曲線 $C$ は

$$ y=\log(kx) $$

より

$$ x=\frac{e^y}{k} $$

である。

また，直線 $l$ は

$$ y=\frac{k}{e}x $$

より

$$ x=\frac{e}{k}y $$

である。

$y$ は $0$ から $1$ まで動くので，回転体の断面は外半径 $\dfrac{e^y}{k}$，内半径 $\dfrac{ey}{k}$ の円環になる。したがって

$$ V_y=\pi\int_0^1\left[\left(\frac{e^y}{k}\right)^2-\left(\frac{ey}{k}\right)^2\right]dy $$

である。これを計算すると，

$$ \begin{aligned} V_y &=\frac{\pi}{k^2}\int_0^1\left(e^{2y}-e^2y^2\right)dy \\ &=\frac{\pi}{k^2}\left[\frac{e^{2y}}{2}-\frac{e^2y^3}{3}\right]_0^1 \\ &=\frac{\pi}{k^2}\left(\frac{e^2-1}{2}-\frac{e^2}{3}\right) \\ &=\frac{\pi}{k^2}\cdot \frac{e^2-3}{6} \end{aligned} $$

よって

$$ V_y=\frac{\pi(e^2-3)}{6k^2} $$

である。

（4） $V_x=V_y$ となる $k$

$$ \frac{2\pi(3-e)}{3k}=\frac{\pi(e^2-3)}{6k^2} $$

より，$\pi\ne0,\ k>0$ を用いて整理すると

$$ 4k(3-e)=e^2-3 $$

したがって

$$ k=\frac{e^2-3}{4(3-e)} $$

である。

解説

この問題の要点は，まず「原点を通る接線」という条件を接点の座標で表して，接点を確定することである。接点の $x$ 座標を $a$ とおけば，接線が原点を通る条件は

$$ \log(ka)=1 $$

となり，これが一気に接線の式を決める。

体積計算では，$x$ 軸まわりは下側の境界が途中で $x$ 軸から曲線に切り替わるため，積分を分ける必要がある。一方，$y$ 軸まわりは $x$ を $y$ の関数として表すと，円環の断面で素直に処理でき，計算がかなり簡潔になる。

答え

(1)

$$ l:\ y=\frac{k}{e}x $$

(2)

$$ V_x=\frac{2\pi(3-e)}{3k} $$

(3)

$$ V_y=\frac{\pi(e^2-3)}{6k^2} $$

(4)

$$ k=\frac{e^2-3}{4(3-e)} $$