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数学3 体積問題 80 解説

方針・初手

$x=\sin 2\theta,\ y=\sin 3\theta\ \left(0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\right)$ であるから、まず $x=\sin 2\theta$ の最大値と、そのときの $\theta$ を調べれば（1）はすぐに求まる。

また、（2）の面積と（3）の体積は、媒介変数表示のまま

$$ dx=\frac{dx}{d\theta},d\theta $$

を用いて処理するのが自然である。この曲線は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ を境に $x$ が増加から減少に変わるので、右側の折り返し部分も含めてそのまま積分すると、面積や体積が正しく求まる。

解法1

(1)

$x$ 座標が $1$ であるためには

$$ \sin 2\theta=1 $$

であればよい。

$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}$ より

$$ 0\leqq 2\theta \leqq \frac{2\pi}{3} $$

であるから、この範囲で $\sin 2\theta=1$ となるのは

$$ 2\theta=\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

のみである。

このとき

$$ y=\sin 3\theta=\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

だから、求める点は

$$ \left(1,\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

である。

(2)

図形 $D$ の面積 $S$ は、曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積である。 $x$ 軸上では $y=0$ であるから、曲線部分だけを用いて

$$ S=\int_C y,dx $$

と書ける。

ここで

$$ x=\sin 2\theta,\qquad y=\sin 3\theta $$

より

$$ \frac{dx}{d\theta}=2\cos 2\theta $$

であるから

$$ S=\int_0^{\pi/3}\sin 3\theta \cdot 2\cos 2\theta,d\theta $$

となる。

積和公式

$$ 2\sin 3\theta \cos 2\theta=\sin 5\theta+\sin \theta $$

を用いると

$$ S=\int_0^{\pi/3}(\sin 5\theta+\sin \theta),d\theta $$

であり、

$$ \begin{aligned} S&=\left[-\frac{1}{5}\cos 5\theta-\cos \theta\right]_0^{\pi/3} \\ &=\left(-\frac{1}{5}\cos \frac{5\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{1}{5}\cos 0-\cos 0\right) \\ &=\left(-\frac{1}{10}-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{5}-1\right) \\ &=-\frac{3}{5}+\frac{6}{5} \\ &=\frac{3}{5} \end{aligned} $$

したがって

$$ S=\frac{3}{5} $$

である。

(3)

図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は、断面積が $\pi y^2$ であることから

$$ V=\pi \int_C y^2,dx $$

と書ける。右側の折り返し部分では $x$ が減少するので、その部分がちょうど内側の空洞分を差し引く形になる。

よって

$$ V=\pi \int_0^{\pi/3}\sin^2 3\theta \cdot 2\cos 2\theta,d\theta $$

となる。

ここで

$$ \sin^2 3\theta=\frac{1-\cos 6\theta}{2} $$

を用いると

$$ 2\sin^2 3\theta \cos 2\theta =(1-\cos 6\theta)\cos 2\theta =\cos 2\theta-\cos 6\theta \cos 2\theta $$

さらに

$$ \cos 6\theta \cos 2\theta=\frac{1}{2}\left(\cos 8\theta+\cos 4\theta\right) $$

より

$$ V=\pi \int_0^{\pi/3}\left(\cos 2\theta-\frac{1}{2}\cos 8\theta-\frac{1}{2}\cos 4\theta\right),d\theta $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} V &=\pi \left[\frac{1}{2}\sin 2\theta-\frac{1}{16}\sin 8\theta-\frac{1}{8}\sin 4\theta\right]_0^{\pi/3} \\ &=\pi \left(\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{16}\sin \frac{8\pi}{3}-\frac{1}{8}\sin \frac{4\pi}{3}\right) \end{aligned} $$

ここで

$$ \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin \frac{8\pi}{3}=\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

であるから

$$ \begin{aligned} V &=\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{32}+\frac{\sqrt{3}}{16}\right) \\ &=\pi \left(\frac{8\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{32}\right) \\ &=\frac{9\sqrt{3}}{32}\pi \end{aligned} $$

よって

$$ V=\frac{9\sqrt{3}}{32}\pi $$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示された曲線を無理に $y=f(x)$ の形に直さないことである。

面積は

$$ \int y,dx $$

体積は

$$ \pi \int y^2,dx $$

として、$dx=\dfrac{dx}{d\theta},d\theta$ に直せば、そのまま三角関数の積分になる。特にこの曲線は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で折り返しており、$x$ が単調ではない。ここを気にして $x$ で場合分けしてもよいが、媒介変数のまま積分した方がはるかに簡潔である。