数学3 体積 問題 81 解説

方針・初手

領域 $D,E$ は極座標で見ると、それぞれ半径 $a$ と $b$ の間にある扇形である。 $x$ 軸のまわりの回転体の体積は、微小面積要素を回転させてできる微小体積を積分すると求めやすい。

極座標

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$

を用いると、面積要素は

$$ dA=r,dr,d\theta $$

であり、これが $x$ 軸のまわりを回転すると、半径 $y=r\sin\theta$ の円周を動くので、微小体積は

$$ dV=2\pi y,dA =2\pi (r\sin\theta),r,dr,d\theta =2\pi r^2\sin\theta,dr,d\theta $$

となる。これをそれぞれの領域で積分すればよい。

解法1

（1） $D$ を回転してできる体積 $V$

領域 $D$ は極座標では

$$ a\le r\le b,\quad 0\le \theta\le \theta_1 $$

で表される。

したがって体積 $V$ は

$$ V=\int_0^{\theta_1}\int_a^b 2\pi r^2\sin\theta,dr,d\theta $$

である。積分すると

$$ V =2\pi \left(\int_a^b r^2,dr\right)\left(\int_0^{\theta_1}\sin\theta,d\theta\right) $$

$$ =2\pi \cdot \frac{b^3-a^3}{3}\cdot (1-\cos\theta_1) $$

よって

$$ V=\frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)(1-\cos\theta_1) $$

である。

（2） $E$ を回転してできる体積 $W$

領域 $E$ は極座標では

$$ a\le r\le b,\quad \theta_1\le \theta\le \theta_2 $$

で表される。

したがって体積 $W$ は

$$ W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_a^b 2\pi r^2\sin\theta,dr,d\theta $$

である。これを計算すると

$$ W =2\pi \left(\int_a^b r^2,dr\right)\left(\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta,d\theta\right) $$

$$ =2\pi \cdot \frac{b^3-a^3}{3}\cdot (\cos\theta_1-\cos\theta_2) $$

よって

$$ W=\frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)(\cos\theta_1-\cos\theta_2) $$

である。

（3） $\displaystyle \lim_{\theta_2\to\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1}$

（2） の結果を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{W}{\theta_2-\theta_1} &= \frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)\cdot \frac{\cos\theta_1-\cos\theta_2}{\theta_2-\theta_1} \end{aligned} $$

である。

ここで $\cos\theta$ の微分係数を用いれば

$$ \begin{aligned} \lim_{\theta_2\to\theta_1+0} \frac{\cos\theta_1-\cos\theta_2}{\theta_2-\theta_1} &= -\lim_{\theta_2\to\theta_1+0} \frac{\cos\theta_2-\cos\theta_1}{\theta_2-\theta_1} &= -(-\sin\theta_1) \\ \sin\theta_1 \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{\theta_2\to\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1} &= \frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)\sin\theta_1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は、領域 $D,E$ を極座標で見ると「半径方向」と「角度方向」がきれいに分離できることである。

$x$ 軸まわりの回転体であるから、微小部分の回転半径は $y=r\sin\theta$ になる。したがって微小体積が

$$ 2\pi y,dA $$

と表せ、しかも

$$ dA=r,dr,d\theta $$

であるため、積分がそのまま計算できる。

特に （3） は、（2） で得た $W$ を $\theta_2-\theta_1$ で割って極限をとるだけであり、$\cos\theta$ の微分に帰着する。角度の幅が極めて小さいとき、体積の増え方は $\sin\theta_1$ に比例することが分かる。

答え

(1)

$$ V=\frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)(1-\cos\theta_1) $$

(2)

$$ W=\frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)(\cos\theta_1-\cos\theta_2) $$

(3)

$$ \begin{aligned} \lim_{\theta_2\to\theta_1+0}\frac{W}{\theta_2-\theta_1} &= \frac{2\pi}{3}(b^3-a^3)\sin\theta_1 \end{aligned} $$