数学3 体積 問題 84 解説

方針・初手

$x$ 軸に垂直な平面 $x=\text{一定}$ で切った断面を考える。

球 $A,B$ はともに中心が $x$ 軸上にあるので，各断面は $yz$ 平面内の同心円になる。したがって，断面積は「2つの円のうち半径の大きい方」の面積で決まる。これを $x$ について積分すれば $V(t)$ が求まる。

解法1

時刻 $t\ (0\leqq t\leqq 1)$ において，点 $P,Q$ の座標はそれぞれ

$$ P(t,0,0),\qquad Q(-t,0,0) $$

である。

したがって，球 $A,B$ の方程式は

$$ A:\ (x-t)^2+y^2+z^2\leqq 1, \qquad B:\ (x+t)^2+y^2+z^2\leqq 1 $$

であり，$C$ は

$$ x\geqq -1 $$

である。

平面 $x=\xi$ で切ったときの断面を考える。

球 $A$ の断面半径の二乗は

$$ 1-(\xi-t)^2 $$

球 $B$ の断面半径の二乗は

$$ 1-(\xi+t)^2 $$

である。差をとると

$$ {1-(\xi-t)^2}-{1-(\xi+t)^2}=4\xi t $$

となる。ここで $t\geqq 0$ であるから，

• $\xi\leqq 0$ では $4\xi t\leqq 0$ より，球 $B$ の断面の方が大きい。
• $\xi\geqq 0$ では $4\xi t\geqq 0$ より，球 $A$ の断面の方が大きい。

また，$x\geqq -1$ の部分だけを考えるので，立体 $(A\cup B)\cap C$ の断面積 $S(\xi)$ は

$$ S(\xi)= \begin{cases} \pi{1-(\xi+t)^2} & (-1\leqq \xi\leqq 0),\\ \pi{1-(\xi-t)^2} & (0\leqq \xi\leqq t+1) \end{cases} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} V(t) &= \pi\int_{-1}^{0}{1-(x+t)^2},dx + \pi\int_{0}^{t+1}{1-(x-t)^2},dx \end{aligned} $$

である。

第1項で $u=x+t$ とおくと

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{0}{1-(x+t)^2},dx &= \int_{t-1}^{t}(1-u^2),du \\ \left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{t-1}^{t} \\ -t^2+t+\frac{2}{3} \end{aligned} $$

第2項で $v=x-t$ とおくと

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{t+1}{1-(x-t)^2},dx &= \int_{-t}^{1}(1-v^2),dv \\ \left[v-\frac{v^3}{3}\right]_{-t}^{1} \\ -\frac{t^3}{3}+t+\frac{2}{3} \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} V(t) &= \pi\left( -\frac{t^3}{3}-t^2+2t+\frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

となる。

次に，これの最大値を求める。

$$ \begin{aligned} V'(t) &= \pi(-t^2-2t+2) \end{aligned} $$

であるから，

$$ V'(t)=0 \iff t^2+2t-2=0 \iff t=-1\pm \sqrt{3} $$

$0\leqq t\leqq 1$ より

$$ t=\sqrt{3}-1 $$

が候補である。

さらに

$$ V''(t)=\pi(-2t-2)<0 \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

であるから，$V(t)$ は上に凸でなく下に凸，すなわち上に凹であり，$t=\sqrt{3}-1$ で最大となる。

そのとき

$$ \begin{aligned} V(\sqrt{3}-1) &= \pi\left( -\frac{(\sqrt{3}-1)^3}{3} -(\sqrt{3}-1)^2 +2(\sqrt{3}-1) +\frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

これを整理すると

$$ \begin{aligned} V(\sqrt{3}-1) &= \pi\left(2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は，立体をそのまま扱わず，$x=\text{一定}$ の断面で考えることである。

球 $A,B$ の断面はどちらも同じ中心をもつ円になるため，和集合の断面は半径の大きい方の円だけ見ればよい。そこで $x\leqq 0$ では $B$，$x\geqq 0$ では $A$ が支配することを確認し，断面積を積分すれば $V(t)$ が素直に求まる。

答え

(1)

$$ V(t)=\pi\left(-\frac{t^3}{3}-t^2+2t+\frac{4}{3}\right) \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

(2)

最大値は

$$ \pi\left(2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\right) $$

であり，これは

$$ t=\sqrt{3}-1 $$

のときにとる。