数学3 体積 問題 83 解説

方針・初手

まず，2つのグラフの交点を $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で求める。

ただし $x=0,\ \dfrac{\pi}{2}$ は領域を囲む線に含めないので，求める領域は区間の端ではなく，グラフ同士の交点どうしにはさまれた部分である。

その区間でどちらのグラフが上にあるかを確かめれば，$x$ 軸まわりの回転体の体積は円環の断面積の積分で求まる。

解法1

交点は

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)=\sin 2x $$

を解いて求める。

$\sin A=\sin B$ より，

$$ A=B+2k\pi \quad \text{または} \quad A=\pi-B+2k\pi $$

であるから，$A=x+\dfrac{\pi}{8},\ B=2x$ とおくと，

(i)

$x+\dfrac{\pi}{8}=2x+2k\pi$

より，

$$ x=\frac{\pi}{8}+2k\pi $$

したがって，$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では

$$ x=\frac{\pi}{8} $$

である。

(ii)

$x+\dfrac{\pi}{8}=\pi-2x+2k\pi$

より，

$$ 3x=\frac{7\pi}{8}+2k\pi $$

よって，

$$ x=\frac{7\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3} $$

したがって，$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では

$$ x=\frac{7\pi}{24} $$

である。

以上より，求める領域は

$$ \frac{\pi}{8}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{24} $$

において2曲線にはさまれた部分である。

次に，上下関係を調べる。例えば $x=\dfrac{\pi}{4}$ のとき，

$$ \sin 2x=\sin\frac{\pi}{2}=1, \qquad \sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)=\sin\frac{3\pi}{8} $$

であり，

$$ 1>\sin\frac{3\pi}{8} $$

だから，この区間では

$$ \sin 2x>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right) $$

である。

したがって，回転体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{\pi/8}^{7\pi/24}\left\{\sin^2 2x-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\right\},dx $$

となる。

ここで，

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2} $$

を用いると，

$$ \sin^2 2x-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right) =\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} =\frac{1}{2}\left\{\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos 4x\right\} $$

である。よって，

$$ V=\pi\int_{\pi/8}^{7\pi/24}\frac{1}{2}\left\{\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos 4x\right\},dx $$

$$ =\pi\left[\frac{1}{4}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{8}\sin 4x\right]_{\pi/8}^{7\pi/24} $$

ここで，

$$ 2\cdot \frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6},\qquad 4\cdot \frac{7\pi}{24}=\frac{7\pi}{6} $$

および

$$ 2\cdot \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2},\qquad 4\cdot \frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2} $$

であるから，

$$ V=\pi\left\{\frac{1}{4}\sin\frac{5\pi}{6}-\frac{1}{8}\sin\frac{7\pi}{6} -\left(\frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{2}-\frac{1}{8}\sin\frac{\pi}{2}\right)\right\} $$

$$ =\pi\left\{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)\right\} $$

$$ =\pi\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{8}\right) =\pi\cdot \frac{1}{16} $$

したがって，

$$ V=\frac{\pi}{16} $$

である。

解説

この問題では，「$0,\ \dfrac{\pi}{2}$ を囲む線と考えない」という条件が重要である。したがって，単に区間全体で積分するのではなく，まずグラフ同士の交点を求めて，その間だけを対象にしなければならない。

また，回転体の体積は，$x$ 軸まわりなので「上の曲線の2乗から下の曲線の2乗を引く」形になる。両方とも正の値をとる区間なので，円環の断面積としてそのまま処理できる。

答え

$$ \frac{\pi}{16} $$