数学3 体積 問題 86 解説

方針・初手

接点では，2曲線の値と傾きが一致する。したがって

$$ \log x=ax^2,\qquad \frac{1}{x}=2ax $$

を連立して，接点 $P$ と定数 $a$ を求める。

体積は $y$ 軸のまわりの回転体なので，高さ $y$ で切ると左右の端が $C_2,\ C_1$ で1本ずつ決まる。したがって円環法で処理するのが最も自然である。

解法1

接点の $x$ 座標を $t$ とする。$C_1:y=\log x,\ C_2:y=ax^2$ が $x=t$ で接するから，

$$ \log t=at^2 $$

かつ

$$ \frac{1}{t}=2at $$

である。

後式より

$$ a=\frac{1}{2t^2} $$

となる。これを前式に代入すると，

$$ \log t=\frac{1}{2} $$

であるから，

$$ t=\sqrt e $$

を得る。したがって

$$ P\left(\sqrt e,\frac{1}{2}\right),\qquad a=\frac{1}{2e} $$

である。

次に体積を求める。

$C_2$ は

$$ y=\frac{1}{2e}x^2 $$

であるから，$x$ について解くと

$$ x=\sqrt{2ey} $$

である。また $C_1:y=\log x$ は

$$ x=e^y $$

と書ける。

接点の $y$ 座標は $\dfrac12$ であるから，囲まれた部分を高さ $y$ で切ると， $0\le y\le \dfrac12$ において左端は $C_2$，右端は $C_1$ である。 よって，この部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^{1/2}\left\{(e^y)^2-(\sqrt{2ey})^2\right\}\,dy $$

となる。すなわち

$$ V=\pi\int_0^{1/2}(e^{2y}-2ey)\,dy $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left[\frac{1}{2}e^{2y}-ey^2\right]_0^{1/2} \\ &=\pi\left(\frac{e}{2}-\frac{e}{4}-\frac12\right) \\ &=\frac{\pi}{4}(e-2) \end{aligned} $$

となる。

解説

接する条件は「値が等しい」「傾きが等しい」の2本立てである。ここで微係数の一致から $a$ を $x$ で表し，それを関数値の一致式へ戻すと，最短で接点が求まる。

体積では，回転軸が $y$ 軸であることを見落とさないことが重要である。高さ $y$ で見ると， 各断面は外半径 $e^y$，内半径 $\sqrt{2ey}$ の円環になるので，円環法を使えば1本の積分で求められる。

答え

(1)

$$ P\left(\sqrt e,\frac12\right),\qquad a=\frac{1}{2e} $$

(2)

$$ V=\frac{\pi}{4}(e-2) $$