数学3 体積 問題 87 解説

方針・初手

まず連続性から $a,b$ を決める。次に $f(x)g(x)$ を直接計算すると、三角関数の形が大きく簡単になる。回転体の体積は、$x$ 軸まわりなので

$$ V=\pi\int_0^\pi {f(x)g(x)}^2,dx $$

を用いればよい。

解法1

まず $f(x)$ の $x\to 0+$ における極限を求める。

$$ f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x} $$

である。ここで

$$ \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$

より、

$$ f(x) =x\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}} =x\cot\frac{x}{2} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0+}x\cot\frac{x}{2} &= \lim_{x\to 0+}\frac{x}{\tan\frac{x}{2}} =2 \end{aligned} $$

である。$f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには

$$ a=2 $$

でなければならない。

次に $g(x)$ について、

$$ g(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}} $$

である。$x\to 0+$ のとき $\sin x\sim x$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{\sqrt{x}} &= \lim_{x\to 0+}\sqrt{x}\frac{\sin x}{x} =0 \end{aligned} $$

となる。よって $g(x)$ が $x=0$ で連続であるためには

$$ b=0 $$

である。

次に回転体の体積を求める。$0<x\leqq \pi$ において、

$$ \begin{aligned} f(x)g(x) &= \frac{x\sin x}{1-\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}\frac{\sin^2 x}{1-\cos x} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \sin^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x) $$

より、

$$ f(x)g(x)=\sqrt{x}(1+\cos x) $$

となる。

また $x=0$ では $f(0)g(0)=2\cdot 0=0$ であり、体積積分には端点の値は影響しない。

したがって、求める体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^\pi \left\{\sqrt{x}(1+\cos x)\right\}^2,dx $$

である。よって

$$ V=\pi\int_0^\pi x(1+\cos x)^2,dx $$

となる。

積分部分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x(1+\cos x)^2,dx &=\int_0^\pi x(1+2\cos x+\cos^2 x),dx \\ &=\int_0^\pi x,dx+2\int_0^\pi x\cos x,dx+\int_0^\pi x\cos^2 x,dx \end{aligned} $$

それぞれ計算する。

まず、

$$ \int_0^\pi x,dx=\frac{\pi^2}{2} $$

である。

次に、部分積分により

$$ \int x\cos x,dx=x\sin x+\cos x $$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos x,dx &= [x\sin x+\cos x]_0^\pi \\ -1-1=-2 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ 2\int_0^\pi x\cos x,dx=-4 $$

となる。

最後に、

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos^2 x,dx &= \frac12\int_0^\pi x,dx+\frac12\int_0^\pi x\cos 2x,dx \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \int x\cos 2x,dx=\frac{x\sin 2x}{2}+\frac{\cos 2x}{4} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos 2x,dx &= \left[\frac{x\sin 2x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}\right]_0^\pi =0 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos^2 x,dx &= \frac12\cdot \frac{\pi^2}{2} \\ \frac{\pi^2}{4} \end{aligned} $$

となる。

以上より、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x(1+\cos x)^2,dx &=\frac{\pi^2}{2}-4+\frac{\pi^2}{4} \\ &=\frac{3\pi^2}{4}-4 \end{aligned} $$

である。したがって、回転体の体積は

$$ \begin{aligned} V = \\ \pi\left(\frac{3\pi^2}{4}-4\right) \\ \frac{3\pi^3}{4}-4\pi \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$f(x)$ と $g(x)$ をそれぞれ個別に扱うよりも、体積計算では積 $f(x)g(x)$ を先に簡単にすることが重要である。

特に、

$$ \sin^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x) $$

を使うことで、

$$ f(x)g(x)=\sqrt{x}(1+\cos x) $$

まで簡単になる。この変形に気づけば、体積積分は標準的な三角関数の積分に帰着する。

また、$x=0$ での連続性を調べるとき、$f(x)$ は $0/0$ 型で極限が有限値 $2$ になる一方、$g(x)$ は $\sin x/\sqrt{x}$ なので極限は $0$ になる。この違いを混同しないことが大切である。

答え

(1)

$$ a=2,\qquad b=0 $$

(2)

$$ \frac{3\pi^3}{4}-4\pi $$