数学3 体積 問題 89 解説

方針・初手

四面体の内部を座標で表すには、頂点の凸結合として表すのが最も扱いやすい。

四面体 $ACFH$ については、点 $(x,y,z)$ を

$$ (x,y,z)=\lambda C+\mu F+\nu H+(1-\lambda-\mu-\nu)A $$

とおくと、$\lambda,\mu,\nu\geqq 0,\ \lambda+\mu+\nu\leqq 1$ によって内部条件が書ける。これを $(x,y,z)$ の不等式に直し、$z=t$ を代入すれば切り口が求まる。

（2） も同様に、四面体 $BDEG$ の内部条件を不等式で表し、両者を同時に満たす領域を線形変換で簡単な立体に移す。

解法1

まず四面体 $ACFH$ を考える。

点 $(x,y,z)$ が四面体 $ACFH$ 内またはその境界上にあるとする。このとき

$$ (x,y,z)=\lambda (1,1,0)+\mu (1,0,1)+\nu (0,1,1) $$

と書けて、$\lambda,\mu,\nu\geqq 0,\ \lambda+\mu+\nu\leqq 1$ である。

座標を比較すると

$$ x=\lambda+\mu,\quad y=\lambda+\nu,\quad z=\mu+\nu $$

であるから、

$$ \lambda=\frac{x+y-z}{2},\quad \mu=\frac{x+z-y}{2},\quad \nu=\frac{y+z-x}{2} $$

となる。さらに

$$ 1-\lambda-\mu-\nu =1-\frac{x+y+z}{2} $$

である。したがって、四面体 $ACFH$ は

$$ x+y-z\geqq 0,\quad x+z-y\geqq 0,\quad y+z-x\geqq 0,\quad x+y+z\leqq 2 $$

で表される。

（1） 切断面の面積

平面 $z=t\ (0\leqq t\leqq 1)$ で切ると、切断面上では

$$ x+y\geqq t,\quad x-y\leqq t,\quad y-x\leqq t,\quad x+y\leqq 2-t $$

すなわち

$$ t\leqq x+y\leqq 2-t,\quad -t\leqq x-y\leqq t $$

となる。

ここで

$$ u=x+y,\quad v=x-y $$

とおくと、切断面は $uv$ 平面上で

$$ t\leqq u\leqq 2-t,\quad -t\leqq v\leqq t $$

という長方形に対応する。

また

$$ x=\frac{u+v}{2},\quad y=\frac{u-v}{2} $$

より、ヤコビアンは

$$ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2} $$

である。したがって切断面の面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\frac{1}{2}{(2-t)-t}{t-(-t)} $$

$$ =\frac{1}{2}(2-2t)(2t) =2t(1-t) $$

となる。

（2） 四面体 $ACFH$ と四面体 $BDEG$ の共通部分の体積

次に四面体 $BDEG$ を考える。

点 $(x,y,z)$ が四面体 $BDEG$ 内またはその境界上にあるとすると、

$$ (x,y,z)=\alpha B+\beta D+\gamma E+\delta G $$

と書けて、$\alpha,\beta,\gamma,\delta\geqq 0,\ \alpha+\beta+\gamma+\delta=1$ である。

座標を比較すると

$$ x=\alpha+\delta,\quad y=\beta+\delta,\quad z=\gamma+\delta $$

であり、これより

$$ \delta=\frac{x+y+z-1}{2} $$

となる。さらに $\alpha,\beta,\gamma\geqq 0$ を用いると、

$$ x+y+z\geqq 1,\quad x+y-z\leqq 1,\quad x+z-y\leqq 1,\quad y+z-x\leqq 1 $$

を得る。

よって、共通部分は

$$ 0\leqq x+y-z\leqq 1, $$

$$ 0\leqq x+z-y\leqq 1, $$

$$ 0\leqq y+z-x\leqq 1, $$

$$ 1\leqq x+y+z\leqq 2 $$

で表される。

ここで

$$ u=x+y-z,\quad v=x+z-y,\quad w=y+z-x $$

とおく。すると共通部分は

$$ 0\leqq u\leqq 1,\quad 0\leqq v\leqq 1,\quad 0\leqq w\leqq 1,\quad 1\leqq u+v+w\leqq 2 $$

に対応する。

また逆変換は

$$ x=\frac{u+v}{2},\quad y=\frac{u+w}{2},\quad z=\frac{v+w}{2} $$

であり、ヤコビアンは

$$ \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=\frac{1}{4} $$

である。

したがって、求める体積は、$uvw$ 空間における領域

$$ 0\leqq u,v,w\leqq 1,\quad 1\leqq u+v+w\leqq 2 $$

の体積の $\frac14$ 倍である。

この領域は、単位立方体 $[0,1]^3$ から

$$ u+v+w<1 $$

の四面体と

$$ u+v+w>2 $$

の四面体を除いたものである。これら 2 つの四面体はいずれも体積が

$$ \frac{1}{6} $$

であるから、真ん中の部分の体積は

$$ 1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $$

となる。

よって、元の空間での共通部分の体積 $V$ は

$$ V=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{6} $$

である。

解説

この問題の要点は、四面体を「頂点の凸結合」で表し、それを座標不等式に直すことである。

（1） では $z=t$ を代入したあと、$x+y,\ x-y$ という形にまとめると領域が長方形になり、面積計算が一気に簡単になる。

（2） では、2つの四面体の共通部分をそのまま眺めても形が見えにくい。そこで

$$ u=x+y-z,\quad v=x+z-y,\quad w=y+z-x $$

という変数変換を行うと、条件が $0\leqq u,v,w\leqq 1$ と $1\leqq u+v+w\leqq 2$ に整理され、単位立方体の中央部分として読める。ここまで整理できれば体積は機械的に求まる。

答え

(1)

切断面の面積は

$$ 2t(1-t)\qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

である。

(2)

四面体 $ACFH$ と四面体 $BDEG$ の重なり合う部分の体積は

$$ \frac{1}{6} $$

である。