数学3 体積 問題 90 解説

方針・初手

底面を $z=0$ とする座標をとり、切断平面を方程式で表すのが最も直接的である。底面の直径を $x$ 軸に一致させれば、切断平面は

$$ z=y\tan\alpha $$

とおける。

条件 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ より $\tan\alpha>0$ であり、さらに円柱の高さが $\tan\alpha$ 以上であるから、この平面は円柱の上面に達する前に側面と交わる。したがって、小さい方の立体は

$$ x^2+y^2\le 1,\quad 0\le y\le 1,\quad 0\le z\le y\tan\alpha $$

で表される。

解法1

円柱を

$$ x^2+y^2\le 1,\quad 0\le z\le h \qquad (h\ge \tan\alpha) $$

とする。切断平面は $x$ 軸を含み、底面となす角が $\alpha$ であるから

$$ z=y\tan\alpha $$

とおいてよい。

このとき、小さい方の立体は上半円

$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,\ y\ge 0} $$

の各点 $(x,y)$ に対して、高さ $y\tan\alpha$ をもつ立体である。

（1） 体積 $V$

体積は底面 $D$ 上で高さ $y\tan\alpha$ を積分すればよいから、

$$ V=\iint_D y\tan\alpha,dx,dy $$

となる。

ここで極座標表示

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta \qquad (0\le r\le 1,\ 0\le \theta\le \pi) $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} V &=\tan\alpha\int_0^\pi\int_0^1 (r\sin\theta),r,dr,d\theta \\ &=\tan\alpha\int_0^\pi\sin\theta,d\theta\int_0^1 r^2,dr \\ &=\tan\alpha\cdot 2\cdot \frac{1}{3}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ V=\frac{2}{3}\tan\alpha $$

である。

（2） 切り口の面積 $A$

切り口は平面 $z=y\tan\alpha$ 上にあり、その $xy$ 平面への正射影は上半円 $D$ である。

平面を

$$ \mathbf{r}(x,y)=(x,\ y,\ y\tan\alpha) \qquad ((x,y)\in D) $$

とおくと、

$$ \mathbf{r}_x=(1,0,0),\quad \mathbf{r}_y=(0,1,\tan\alpha) $$

より、

$$ \begin{aligned} |\mathbf{r}_x\times \mathbf{r}_y| &= \sqrt{1+\tan^2\alpha} \\ \frac{1}{\cos\alpha} \end{aligned} $$

である。

したがって面積は

$$ \begin{aligned} A &=\iint_D |\mathbf{r}_x\times \mathbf{r}_y|,dx,dy \\ &=\iint_D \frac{1}{\cos\alpha},dx,dy \\ &=\frac{1}{\cos\alpha}\cdot \text{(上半円の面積)} \\ &=\frac{1}{\cos\alpha}\cdot \frac{\pi}{2}. \end{aligned} $$

よって、

$$ A=\frac{\pi}{2\cos\alpha} $$

である。

（3） 側面積 $B$

側面とは、円柱の側面に由来する曲面部分である。円柱の側面上では

$$ x=\cos\theta,\quad y=\sin\theta \qquad (0\le \theta\le \pi) $$

と表せる。

このとき各 $\theta$ における高さは

$$ z=\sin\theta\tan\alpha $$

までであるから、側面は

$$ \mathbf{s}(\theta,z)=(\cos\theta,\ \sin\theta,\ z) \qquad \left(0\le \theta\le \pi,\ 0\le z\le \sin\theta\tan\alpha\right) $$

で表される。

ここで

$$ \mathbf{s}_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0),\quad \mathbf{s}_z=(0,0,1) $$

より、

$$ |\mathbf{s}_\theta\times \mathbf{s}_z|=1 $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} B &=\int_0^\pi\int_0^{\sin\theta\tan\alpha} 1,dz,d\theta \\ &=\tan\alpha\int_0^\pi \sin\theta,d\theta \\ &=2\tan\alpha. \end{aligned} $$

よって、

$$ B=2\tan\alpha $$

である。

解説

この問題では、切断平面を $z=y\tan\alpha$ とおくことで立体の形が明確になる。条件「円柱の高さは $\tan\alpha$ 以上」は、切断平面が上面にぶつからず、立体の形が高さ $h$ に依存しないことを保証している。

体積は「上半円上の高さの積分」、切り口の面積は「上半円の面積を $\dfrac{1}{\cos\alpha}$ 倍」、側面積は「円柱側面上で高さを積分」と見るのが自然である。いずれも上半円あるいは半周分の積分に帰着する。

答え

(1)

$V=\dfrac{2}{3}\tan\alpha$

(2)

$A=\dfrac{\pi}{2\cos\alpha}$

(3)

$B=2\tan\alpha$