数学3 体積 問題 96 解説

方針・初手

まず微分して増減と極値を調べ、さらに $2$ 階微分して凹凸と変曲点を調べる。 そのうえで、$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であることを使えば、面積と回転体の体積はいずれも定積分でそのまま求められる。

解法1

（1） 増減、極値、凹凸、変曲点を調べる。

$$ f(x)=e^x\sin x $$

より、

$$ f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x) $$

である。 ここで $e^x>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $\sin x+\cos x$ の符号で決まる。

$$ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、

$$ f'(x)=0 \iff \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \iff x=\frac{3\pi}{4} \quad (0\leqq x\leqq \pi) $$

となる。

したがって、

• $0\leqq x<\dfrac{3\pi}{4}$ では $f'(x)>0$
• $\dfrac{3\pi}{4}<x\leqq \pi$ では $f'(x)<0$

である。

よって、$f(x)$ は

• $0\leqq x\leqq \dfrac{3\pi}{4}$ で増加
• $\dfrac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \pi$ で減少

する。 したがって $x=\dfrac{3\pi}{4}$ で極大値をとり、その値は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= e^{3\pi/4}\sin\frac{3\pi}{4} \\ \frac{e^{3\pi/4}}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ f(0)=0,\qquad f(\pi)=0 $$

である。

次に $2$ 階微分を求めると、

$$ \begin{aligned} f''(x) &= e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x) \\ 2e^x\cos x \end{aligned} $$

となる。

ここで $e^x>0$ であるから、$f''(x)$ の符号は $\cos x$ の符号で決まる。 よって、

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}$ では $f''(x)>0$
• $\dfrac{\pi}{2}<x\leqq \pi$ では $f''(x)<0$

である。

したがって、グラフは

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}$ で下に凸
• $\dfrac{\pi}{2}<x\leqq \pi$ で上に凸

となる。 また、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で $f''(x)$ の符号が変わるので、変曲点は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{\pi}{2},f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) &= \left(\frac{\pi}{2},e^{\pi/2}\right) \end{aligned} $$

である。

以上より、グラフは $(0,0)$ から出発して増加し、$x=\dfrac{\pi}{2}$ で変曲し、$x=\dfrac{3\pi}{4}$ で最大となったのち減少して $(\pi,0)$ に至る。 なお、$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ であるから、グラフはこの区間で常に $x$ 軸の上側にある。

（2） 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ より $f(x)\geqq 0$ なので、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^\pi e^x\sin x,dx $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \int e^x\sin x,dx &= \frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \left[\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)\right]_0^\pi \\ &= \frac{e^\pi}{2}(0-(-1))-\frac{1}{2}(0-1) \\ &= \frac{e^\pi+1}{2} \end{aligned} $$

となる。

（3） （2） の図形を $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積を求める。

体積を $V$ とすると、円板法により

$$ V=\pi\int_0^\pi {e^x\sin x}^2,dx =\pi\int_0^\pi e^{2x}\sin^2 x,dx $$

である。

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \int e^{2x}\sin^2 x,dx &= \frac{1}{2}\int e^{2x},dx-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos 2x,dx \\ &= \frac{e^{2x}}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{2x}(2\cos 2x+2\sin 2x)}{8} \\ &= \frac{e^{2x}}{8}\left(2-\cos 2x-\sin 2x\right) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{2x}\sin^2 x,dx &= \left[\frac{e^{2x}}{8}\left(2-\cos 2x-\sin 2x\right)\right]_0^\pi \\ &= \frac{e^{2\pi}}{8}(2-1-0)-\frac{1}{8}(2-1-0) \\ &= \frac{e^{2\pi}-1}{8} \end{aligned} $$

よって、

$$ V=\pi\cdot \frac{e^{2\pi}-1}{8} =\frac{\pi}{8}(e^{2\pi}-1) $$

である。

解説

この問題の中心は、$e^x>0$ であることを利用して、$f'(x)$ や $f''(x)$ の符号判定を三角関数だけに落とすことである。 特に

$$ f'(x)=e^x(\sin x+\cos x),\qquad f''(x)=2e^x\cos x $$

まで整理できれば、増減と凹凸はすぐに確定する。

また、$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であるから、面積は絶対値を付けずにそのまま積分できる。 体積も $y^2$ を積分する標準的な円板法で処理でき、$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ の変形が決め手になる。

答え

(1)

• 増加区間は $0\leqq x\leqq \dfrac{3\pi}{4}$
• 減少区間は $\dfrac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \pi$
• 極大値は

$$ \frac{e^{3\pi/4}}{\sqrt{2}} $$

（$x=\dfrac{3\pi}{4}$ でとる）

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}$ で下に凸、$\dfrac{\pi}{2}<x\leqq \pi$ で上に凸
• 変曲点は

$$ \left(\frac{\pi}{2},e^{\pi/2}\right) $$

• グラフは $(0,0)$ から増加し、$\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{e^{3\pi/4}}{\sqrt{2}}\right)$ で最大となり、$(\pi,0)$ に至る

(2)

面積

$$ \frac{e^\pi+1}{2} $$

(3)

体積

$$ \frac{\pi}{8}(e^{2\pi}-1) $$