数学3 体積 問題 95 解説

方針・初手

共通点では $y=e^{-x^2/2}$ が成り立つので，これを円の式に代入して $x$ のみの方程式に直すのが第一歩である。

その後，$2\alpha$ を右辺にもつ関数

$$ g(x)=x^2e^{x^2/2}+e^{-x^2/2} $$

の値域を調べれば，共有点の個数が分かる。

（3） は $y$ 軸回転なので，高さ $y$ での断面積を用いると自然に処理できる。

解法1

（1） 共通点の $x$ 座標を $\omega$ とする。このとき共通点の座標は

$$ \left(\omega,\ e^{-\omega^2/2}\right) $$

である。

これを円

$$ x^2+(y-\alpha)^2=\alpha^2 $$

に代入すると

$$ \omega^2+\left(e^{-\omega^2/2}-\alpha\right)^2=\alpha^2 $$

となる。

これを展開して整理すると

$$ \omega^2+e^{-\omega^2}-2\alpha e^{-\omega^2/2}=0 $$

である。

両辺に $e^{\omega^2/2}$ を掛けると

$$ \omega^2e^{\omega^2/2}+e^{-\omega^2/2}=2\alpha $$

を得る。

よって，共有点の $x$ 座標 $\omega$ は

$$ \omega^2e^{\omega^2/2}+e^{-\omega^2/2}=2\alpha $$

の解である。

---

(2)

$$ g(x)=x^2e^{x^2/2}+e^{-x^2/2} $$

とおく。

$g(x)$ は偶関数であるから，$x\geqq 0$ における増減を調べれば十分である。そこで

$$ t=\frac{x^2}{2}\quad (t\geqq 0) $$

とおき，

$$ h(t)=2te^t+e^{-t} $$

とすると

$$ g(x)=h\left(\frac{x^2}{2}\right) $$

である。

ここで

$$ h'(t)=2(t+1)e^t-e^{-t} $$

であり，

$$ e^t h'(t)=2(t+1)e^{2t}-1 $$

となる。$t\geqq 0$ では

$$ 2(t+1)e^{2t}\geqq 2>1 $$

であるから

$$ h'(t)>0 $$

である。したがって $h(t)$ は $t\geqq 0$ で単調増加である。

ゆえに $g(x)$ は $|x|$ の増加とともに増加し，最小値は $x=0$ で

$$ g(0)=1 $$

である。

したがって方程式

$$ g(x)=2\alpha $$

の解の個数は次のようになる。

(i)

$\alpha<\dfrac12$ のとき

$$ 2\alpha<1=g(0)\leqq g(x) $$

より解なし。

(ii)

$\alpha=\dfrac12$ のとき

$$ 2\alpha=1=g(0) $$

より $x=0$ のみ。

(iii)

$\alpha>\dfrac12$ のとき $g(x)$ は偶関数で，$x=0$ で最小値 $1$ をとり，$|x|\to\infty$ で $g(x)\to\infty$ であるから，解はちょうど

$$ x=\pm p $$

の 2 個である。

各 $x$ に対して $y=e^{-x^2/2}$ は一意に定まるので，共有点の個数も同じである。

よって共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & \left(\alpha<\dfrac12\right),\\ 1 & \left(\alpha=\dfrac12\right),\\ 2 & \left(\alpha>\dfrac12\right) \end{cases} $$

である。

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（3） 共有点の個数が 2 であるから $\alpha>\dfrac12$ であり，共有点を $(p,q),(-p,q)$ とする。$p>0$ なので

$$ q=e^{-p^2/2},\qquad 0<q<1 $$

である。

また $(p,q)$ は円上にもあるから

$$ p^2+(q-\alpha)^2=\alpha^2 $$

すなわち

$$ p^2+q^2=2\alpha q $$

である。

さらに $q=e^{-p^2/2}$ より

$$ p^2=-2\ln q $$

だから

$$ 2\alpha q=q^2-2\ln q $$

となり，

$$ \alpha=\frac{q^2-2\ln q}{2q} $$

を得る。

ここで，図形 $D$ を $y$ 軸のまわりに回転させる。高さ $y$ における断面は円板であり，その半径は次のようになる。

(i)

$0\leqq y\leqq q$ のとき，境界は円 $C_1$ によるから

$$ x^2+(y-\alpha)^2=\alpha^2 $$

より

$$ x^2=2\alpha y-y^2 $$

である。したがって断面積は

$$ \pi(2\alpha y-y^2) $$

である。

(ii)

$q\leqq y\leqq 1$ のとき，境界は曲線 $C_2$ によるから

$$ y=e^{-x^2/2} $$

より

$$ x^2=-2\ln y $$

である。したがって断面積は

$$ \pi(-2\ln y) $$

である。

よって回転体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^q(2\alpha y-y^2),dy+\pi\int_q^1(-2\ln y),dy $$

となる。

計算すると

$$ \int_0^q(2\alpha y-y^2),dy=\alpha q^2-\frac{q^3}{3}, $$

$$ \int_q^1(-2\ln y),dy=2+2q\ln q-2q $$

であるから

$$ V=\pi\left(\alpha q^2-\frac{q^3}{3}+2+2q\ln q-2q\right) $$

である。

ここで

$$ \alpha q^2=\frac{q(q^2-2\ln q)}{2} =\frac{q^3}{2}-q\ln q $$

を代入すると

$$ V=\pi\left(2-2q+q\ln q+\frac{q^3}{6}\right) $$

となる。

解説

（1） は代入して整理するだけであるが，最後に $e^{\omega^2/2}$ を掛けて式を見やすくするのが要点である。

（2） では $x$ のまま微分してもよいが，$x^2/2=t$ とおくと単調性が見やすくなる。最小値が $1$ であることが分かれば，共有点の個数はただちに決まる。

（3） では回転軸が $y$ 軸なので，$y$ で切った断面を考えるのが最も自然である。$p$ を消去するには

$$ q=e^{-p^2/2} $$

すなわち

$$ p^2=-2\ln q $$

を使うのが本質である。

答え

(1)

共有点の $x$ 座標 $\omega$ は

$$ \omega^2e^{\omega^2/2}+e^{-\omega^2/2}=2\alpha $$

の解である。

(2)

共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & \left(\alpha<\dfrac12\right),\\ 1 & \left(\alpha=\dfrac12\right),\\ 2 & \left(\alpha>\dfrac12\right) \end{cases} $$

である。

(3)

回転体の体積は

$$ \pi\left(2-2q+q\ln q+\frac{q^3}{6}\right) $$

である。