数学3 体積 問題 105 解説

方針・初手

2直線 $\ell_1,\ell_2$ の交点を原点とし，$\ell_1,\ell_2$ をそれぞれ $x$ 軸，$y$ 軸にとる。さらに，$\ell_1,\ell_2$ を含む平面を $z=0$ とする。

このとき，円柱 $C_1,C_2$ はそれぞれ

$$ C_1:\ y^2+z^2\le r^2, \qquad C_2:\ x^2+z^2\le r^2 $$

と表される。したがって，共通部分 $D$ は

$$ D={(x,y,z)\mid y^2+z^2\le r^2,\ x^2+z^2\le r^2} $$

である。

この式を用いて，各断面の形を調べ，最後に断面積を積分して体積を求める。

解法1

（1） $\ell_1$ に直交する平面による切り口

$\ell_1$ は $x$ 軸であるから，$\ell_1$ に直交する平面は $x=a$ と書ける。

この平面で切ると，

• $C_1$ は

$$ y^2+z^2\le r^2 $$

で表される半径 $r$ の円

• $C_2$ は

$$ a^2+z^2\le r^2 $$

すなわち

$$ |z|\le \sqrt{r^2-a^2} $$

で表される帯状部分

となる。

したがって，$D$ の切り口は

$$ y^2+z^2\le r^2, \qquad |z|\le \sqrt{r^2-a^2} $$

を同時に満たす部分であり，半径 $r$ の円を2本の平行な弦で切り取った形になる。

特に，

• $a=0$ のときは半径 $r$ の円
• $|a|=r$ のときは線分 $-r\le y\le r$

となる。

（2） $\ell_1,\ell_2$ を含む平面と平行な平面による切り口

$\ell_1,\ell_2$ を含む平面は $z=0$ であるから，それに平行な平面は $z=c$ と書ける。

この平面で切ると，

$$ y^2+c^2\le r^2, \qquad x^2+c^2\le r^2 $$

より，

$$ |x|\le \sqrt{r^2-c^2}, \qquad |y|\le \sqrt{r^2-c^2} $$

となる。

よって切り口は，平面 $z=c$ 上の正方形

$$ -\sqrt{r^2-c^2}\le x\le \sqrt{r^2-c^2}, \qquad -\sqrt{r^2-c^2}\le y\le \sqrt{r^2-c^2} $$

である。

したがって，その一辺の長さは

$$ 2\sqrt{r^2-c^2} $$

である。

特に，

• $c=0$ のときは一辺 $2r$ の正方形
• $|c|=r$ のときは1点

となる。

（3） $D$ の概形

（2） より，$z=c$ による切り口はすべて正方形であり，$|c|$ が大きくなるにつれてその正方形は小さくなり，$z=\pm r$ で1点になる。

したがって $D$ は，

• 中央の平面 $z=0$ で最大の正方形断面をもち，
• 上下に向かって正方形断面が縮んでいく

立体である。

境界面は2つの円柱面の一部からなり，左右・前後・上下について対称である。

（4） $D$ の体積

$z=c$ における切り口は一辺

$$ 2\sqrt{r^2-c^2} $$

の正方形であるから，その面積 $A(c)$ は

$$ A(c)=\left(2\sqrt{r^2-c^2}\right)^2=4(r^2-c^2) $$

である。

よって体積 $V$ は

$$ V=\int_{-r}^{r}4(r^2-c^2),dc $$

となる。計算すると，

$$ \begin{aligned} V &=4\int_{-r}^{r}(r^2-c^2),dc \\ &=4\left[r^2c-\frac{c^3}{3}\right]_{-r}^{r} \\ &=4\left(\frac{2r^3}{3}-\left(-\frac{2r^3}{3}\right)\right) \\ &=\frac{16}{3}r^3 \end{aligned} $$

したがって，

$$ V=\frac{16}{3}r^3 $$

である。

解説

この問題の要点は，立体全体を直接眺めるのではなく，座標を設定して断面を式で表すことである。

特に （2） の断面が正方形になることを見抜ければ，断面積がすぐに求まり，体積計算は1変数の積分に帰着する。ここが最重要である。

一方，（1） の断面は円そのものではなく，もう一方の円柱によって上下を切り取られた部分になる。ここを取り違えないことが必要である。

答え

(1)

$\ell_1$ に直交する平面 $x=a$ による切り口は

$$ y^2+z^2\le r^2, \qquad |z|\le \sqrt{r^2-a^2} $$

で表される図形であり，半径 $r$ の円を2本の平行な弦で切り取った形である。

(2)

$\ell_1,\ell_2$ を含む平面に平行な平面 $z=c$ による切り口は，一辺

$$ 2\sqrt{r^2-c^2} $$

の正方形である。

(3)

$D$ は，平面 $z=0$ で一辺 $2r$ の正方形断面をもち，$z=\pm r$ に向かって正方形断面が縮んでいく，2つの円柱の共通部分の立体である。

(4)

体積は

$$ \frac{16}{3}r^3 $$

である。