数学3 体積 問題 107 解説

方針・初手

線分 $PQ$ 上の点を、$z$ 座標をそのまま媒介変数にして表すのが最も自然である。

平面 $z=t$ との交わりを求めれば、各高さでの断面が分かるので、$V_1$ は断面積の積分で求まる。さらに $V_2$ は、その断面を $z$ 軸まわりに回転させたときにできる円環の面積を積分すればよい。

解法1

線分 $PQ$ 上で、$z=t \ (0\leqq t\leqq 1)$ となる点を $R$ とする。

$P$ の $z$ 座標は $0$、$Q$ の $z$ 座標は $1$ であるから、$R$ は

$$ R=(1-t)P+tQ $$

と表せる。したがって

$$ \begin{aligned} x&=(1-t)\cos\theta+t\cdot 2\cos\theta=(1+t)\cos\theta,\\ y&=(1-t)\cdot 2\sin\theta+t\sin\theta=(2-t)\sin\theta,\\ z&=t \end{aligned} $$

である。

（1） 平面 $z=t$ との交わり

上式より

$$ x=(1+t)\cos\theta,\qquad y=(2-t)\sin\theta $$

であるから、

$$ \frac{x^2}{(1+t)^2}+\frac{y^2}{(2-t)^2} =\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$

となる。

よって、図形 $H$ と平面 $z=t$ が交わってできる図形は、平面 $z=t$ 上の楕円

$$ \frac{x^2}{(1+t)^2}+\frac{y^2}{(2-t)^2}=1 \qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

である。

（2） 立体 $V_1$ の体積

高さ $t$ における断面は、長半径 $1+t$、短半径 $2-t$ の楕円であるから、その面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\pi(1+t)(2-t) $$

である。

したがって体積 $V_1$ は

$$ V_1=\int_0^1 \pi(1+t)(2-t),dt $$

であり、

$$ \begin{aligned} V_1 &=\pi\int_0^1 (2+t-t^2),dt\\ &=\pi\left[2t+\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_0^1\\ &=\pi\left(2+\frac12-\frac13\right)\\ &=\frac{13\pi}{6} \end{aligned} $$

となる。

（3） 立体 $V_2$ の体積

高さ $t$ における $H$ の断面は楕円

$$ x=(1+t)\cos\theta,\qquad y=(2-t)\sin\theta $$

である。この点の $z$ 軸からの距離を $r$ とすると

$$ r^2=x^2+y^2=(1+t)^2\cos^2\theta+(2-t)^2\sin^2\theta $$

である。

したがって $r$ は

$$ \min(1+t,2-t)\leqq r\leqq \max(1+t,2-t) $$

の範囲を動く。よって、平面 $z=t$ での $V_2$ の断面は円環となり、その面積を $A(t)$ とすると

(i)

$0\leqq t\leqq \dfrac12$ のとき

$$ 2-t\geqq 1+t $$

より、外半径は $2-t$、内半径は $1+t$ であるから

$$ A(t)=\pi\bigl((2-t)^2-(1+t)^2\bigr)=\pi(3-6t) $$

である。

(ii)

$\dfrac12\leqq t\leqq 1$ のとき

$$ 1+t\geqq 2-t $$

より、外半径は $1+t$、内半径は $2-t$ であるから

$$ A(t)=\pi\bigl((1+t)^2-(2-t)^2\bigr)=\pi(6t-3) $$

である。

したがって

$$ V_2=\int_0^{1/2}\pi(3-6t),dt+\int_{1/2}^1\pi(6t-3),dt $$

となる。計算すると

$$ \begin{aligned} V_2 &=\pi\left[3t-3t^2\right]_0^{1/2} +\pi\left[3t^2-3t\right]_{1/2}^1\\ &=\pi\left(\frac34\right)+\pi\left(\frac34\right)\\ &=\frac{3\pi}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は、線分 $PQ$ を「高さ $z=t$ で切る」と断面がきれいに楕円で表せる点にある。

$V_1$ では、その楕円の面積を積分すればよい。一方、$V_2$ では楕円そのものを回転させるので、断面は楕円板ではなく円環になる。この違いを取り違えると体積を誤る。

特に （3） では、各高さでの $z$ 軸からの距離 $r$ の最小値・最大値を調べることが重要であり、$t=\dfrac12$ を境に内外半径が入れ替わることがポイントである。

答え

(1)

$$ \frac{x^2}{(1+t)^2}+\frac{y^2}{(2-t)^2}=1 \qquad (z=t,\ 0\leqq t\leqq 1) $$

(2)

$$ V_1=\frac{13\pi}{6} $$

(3)

$$ V_2=\frac{3\pi}{2} $$