数学3 体積 問題 112 解説

方針・初手

（1） は，直線が 2 点 $(\alpha,\alpha^2),(\beta,\beta^2)$ を通ることを使って，傾きと切片を求めればよい。

（2） は，直線と放物線の差を因数分解すると面積が簡単に積分できる。

（3） は，（2） の結果から $\beta-\alpha$ が定まり，さらに

$$ c=\frac{\alpha+\beta}{2} $$

とおくと

$$ \alpha=c-3,\qquad \beta=c+3 $$

となるので，区間の中心 $c$ のまわりに平行移動して対称性を使うのが自然である。

解法1

(1)

直線 $\ell$ を

$$ y=f(x)=ax+b $$

とする。

$\ell$ は $(\alpha,\alpha^2),(\beta,\beta^2)$ を通るから，

$$ a=\frac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha} =\alpha+\beta $$

である。

また，

$$ \alpha^2=a\alpha+b $$

より

$$ b=\alpha^2-a\alpha =\alpha^2-(\alpha+\beta)\alpha =-\alpha\beta $$

となる。

したがって，

$$ a=\alpha+\beta,\qquad b=-\alpha\beta $$

である。

(2)

（1） より

$$ f(x)=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta $$

であるから，

$$ f(x)-x^2 =(\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2 =-(x-\alpha)(x-\beta) =(x-\alpha)(\beta-x) $$

である。

$\alpha<x<\beta$ では $(x-\alpha)(\beta-x)>0$ なので，図形 $D$ の面積は

$$ \int_{\alpha}^{\beta}{f(x)-x^2},dx =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x),dx $$

で与えられる。

ここで

$$ d=\beta-\alpha\quad (d>0),\qquad t=x-\alpha $$

とおくと，$x=\alpha$ で $t=0$，$x=\beta$ で $t=d$ だから，

$$ 36 =\int_0^d t(d-t),dt =\int_0^d (dt-t^2),dt =\left[\frac{d}{2}t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^d =\frac{d^3}{6} $$

となる。

よって

$$ d^3=216 $$

より

$$ \beta-\alpha=6 $$

である。

(3)

（2） より $\beta-\alpha=6$ だから，

$$ c=\frac{\alpha+\beta}{2} $$

を用いると

$$ \alpha=c-3,\qquad \beta=c+3 $$

である。

また

$$ \alpha+\beta=2c,\qquad \alpha\beta=(c-3)(c+3)=c^2-9 $$

より，直線 $\ell$ は

$$ y=2cx-(c^2-9) $$

すなわち

$$ y=2cx-c^2+9 $$

である。

図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{\alpha}^{\beta}\left\{\left(2cx-c^2+9\right)^2-x^4\right\},dx $$

である。

ここで

$$ x=c+t $$

とおくと，$t$ の範囲は $-3\le t\le 3$ となり，

$$ 2cx-c^2+9=c^2+2ct+9,\qquad x^2=(c+t)^2=c^2+2ct+t^2 $$

であるから，

$$ V=\pi\int_{-3}^{3}\left\{(c^2+2ct+9)^2-(c^2+2ct+t^2)^2\right\},dt $$

となる。

差の平方を用いると，

$$ \begin{aligned} &(c^2+2ct+9)^2-(c^2+2ct+t^2)^2 \\ &={(c^2+2ct+9)-(c^2+2ct+t^2)}{(c^2+2ct+9)+(c^2+2ct+t^2)} \\ &=(9-t^2)(2c^2+4ct+t^2+9). \end{aligned} $$

したがって

$$ V=\pi\int_{-3}^{3}(9-t^2)(2c^2+4ct+t^2+9),dt. $$

ここで $4ct(9-t^2)$ は奇関数なので，$-3$ から $3$ までの積分は $0$ である。よって

$$ V=\pi\int_{-3}^{3}\left(18c^2+81-2c^2t^2-t^4\right),dt. $$

さらに

$$ \int_{-3}^{3}dt=6,\qquad \int_{-3}^{3}t^2,dt=18,\qquad \int_{-3}^{3}t^4,dt=\frac{486}{5} $$

より，

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left\{6(18c^2+81)-2c^2\cdot 18-\frac{486}{5}\right\} \\ &=\pi\left(72c^2+\frac{1944}{5}\right). \end{aligned} $$

したがって

$$ V=72\pi c^2+\frac{1944}{5}\pi =\frac{72\pi}{5}(5c^2+27) $$

である。

ここで $c^2\ge 0$ であるから，$V$ は $c=0$ のとき最小となる。そのとき

$$ V_{\min}=\frac{1944}{5}\pi $$

であり，

$$ \alpha=c-3=-3,\qquad \beta=c+3=3 $$

である。

解説

この問題の本質は，放物線 $y=x^2$ とその 2 交点を結ぶ直線との差が

$$ f(x)-x^2=-(x-\alpha)(x-\beta) $$

ときれいに因数分解できる点にある。

（2） ではこの形から面積が $\beta-\alpha$ のみで決まり，

$$ \text{面積}=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} $$

となる。

（3） では，（2） によって $\beta-\alpha=6$ が固定されるので，残る自由度は中点

$$ c=\frac{\alpha+\beta}{2} $$

だけになる。そこで $x=c+t$ と置くと積分区間が $[-3,3]$ となり，奇関数の項が消えるため体積が $c$ だけの式として簡単に整理できる。

答え

(1)

$$ a=\alpha+\beta,\qquad b=-\alpha\beta $$

(2)

$$ \beta-\alpha=6 $$

(3)

$$ V=\pi\left(72c^2+\frac{1944}{5}\right) =\frac{72\pi}{5}(5c^2+27) $$

したがって最小値は

$$ V_{\min}=\frac{1944}{5}\pi $$

であり，そのとき

$$ \alpha=-3,\qquad \beta=3 $$

である。