数学3 体積 問題 113 解説

方針・初手

まず $f'(x)$ を求めて増減を調べれば、極値は決まる。

次に、原点を通る接線は、接点を $x=a$ とおくと 「その接線が $(0,0)$ を通る」という条件

$$ f(a)-af'(a)=0 $$

で求められる。

最後に、（3） の立体は $y$ 軸回転であるから、円筒殻法を使うと逆関数を求めずに体積を計算できる。

解法1

(1)

$$ f(x)=-\frac{(\log x)^3}{x^2}\qquad (x>0) $$

を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= -\left\{3(\log x)^2\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2} +(\log x)^3\cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right)\right\} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(\log x)^2(2\log x-3)}{x^3} \end{aligned} $$

となる。

ここで $x>0$ だから $x^3>0$ であり、また $(\log x)^2\geqq 0$ である。よって $f'(x)$ の符号は $2\log x-3$ の符号で決まる。

$$ 2\log x-3=0 \iff \log x=\frac{3}{2} \iff x=e^{3/2} $$

また $\log x=0$ となる $x=1$ でも $f'(x)=0$ である。

したがって、増減は

• $0<x<e^{3/2}$ で $f'(x)<0$（ただし $x=1$ でのみ $f'(1)=0$）
• $x>e^{3/2}$ で $f'(x)>0$

である。

よって $x=e^{3/2}$ で極小となる。

その値は

$$ \begin{aligned} f\left(e^{3/2}\right) &= -\frac{\left(\log e^{3/2}\right)^3}{\left(e^{3/2}\right)^2} \\ -\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^3}{e^3} \\ -\frac{27}{8e^3} \end{aligned} $$

である。

なお、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0+}f(x) &= \lim_{x\to 0+}\left(-\frac{(\log x)^3}{x^2}\right) \\ +\infty \end{aligned} $$

であるから、極大値は存在しない。

(2)

曲線 $C$ 上の点 $(a,f(a))\ (a>0)$ における接線は

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a) $$

である。

この接線が原点を通るための条件は

$$ 0=f'(a)(0-a)+f(a) $$

すなわち

$$ f(a)-af'(a)=0 $$

である。

ここで

$$ f(a)=-\frac{(\log a)^3}{a^2},\qquad af'(a)=\frac{(\log a)^2(2\log a-3)}{a^2} $$

だから、

$$ \begin{aligned} f(a)-af'(a) &= -\frac{(\log a)^3}{a^2} -\frac{(\log a)^2(2\log a-3)}{a^2} &= \frac{3(\log a)^2(1-\log a)}{a^2} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \frac{3(\log a)^2(1-\log a)}{a^2}=0 $$

より

$$ \log a=0 \quad \text{または} \quad \log a=1 $$

すなわち

$$ a=1,\ e $$

である。

まず $a=1$ のとき、

$$ f(1)=0,\qquad f'(1)=0 $$

より接線は

$$ y=0 $$

である。

次に $a=e$ のとき、

$$ f(e)=-\frac{1}{e^2},\qquad f'(e)=\frac{1^2(2-3)}{e^3}=-\frac{1}{e^3} $$

であるから、接線は

$$ \begin{aligned} y+\frac{1}{e^2} &= -\frac{1}{e^3}(x-e) \end{aligned} $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{e^3}x $$

である。

(3)

まず

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right) &= -\frac{\left(\log \frac{1}{\sqrt e}\right)^3}{\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^2} \\ -\frac{\left(-\frac12\right)^3}{1/e} \\ \frac{e}{8} \end{aligned} $$

である。

また $0<x<1$ では $\log x<0$ だから $f(x)>0$ であり、曲線 $C$ は $(1,0)$ を通る。したがって、求める領域は

• $0\leqq x\leqq \dfrac{1}{\sqrt e}$ では $0\leqq y\leqq \dfrac{e}{8}$
• $\dfrac{1}{\sqrt e}\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq y\leqq f(x)$

で表される。

これを $y$ 軸のまわりに回転させる。円筒殻法より体積 $V$ は

$$ V = 2\pi\left( \int_0^{1/\sqrt e}x\cdot \frac{e}{8},dx + \int_{1/\sqrt e}^{1}x,f(x),dx \right) $$

である。

第1項は

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt e}x\cdot \frac{e}{8},dx &= \frac{e}{8}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{1/\sqrt e} \\ \frac{e}{8}\cdot \frac{1}{2e} \\ \frac{1}{16} \end{aligned} $$

第2項は

$$ \begin{aligned} \int_{1/\sqrt e}^{1}x,f(x),dx &= \int_{1/\sqrt e}^{1}-\frac{(\log x)^3}{x},dx \end{aligned} $$

であり、$t=\log x$ とおくと $dt=\dfrac{dx}{x}$ だから、

$$ \begin{aligned} \int_{1/\sqrt e}^{1}-\frac{(\log x)^3}{x},dx &= -\int_{-1/2}^{0}t^3,dt \\ -\left[\frac{t^4}{4}\right]_{-1/2}^{0} \\ \frac{1}{64} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} V = \\ 2\pi\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}\right) \\ 2\pi\cdot \frac{5}{64} \\ \frac{5\pi}{32} \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は3つである。

第1に、極値は $f'(x)$ の符号で判断することである。$x=1$ でも $f'(1)=0$ になるが、ここでは増減が変わらないので極値ではない。この見落としが起こりやすい。

第2に、原点を通る接線は、接点を文字で置いて

$$ f(a)-af'(a)=0 $$

とするのが定石である。接線の式を毎回展開するより整理しやすい。

第3に、回転体は $y$ 軸回転なので、円筒殻法

$$ 2\pi\int x\cdot (\text{高さ}),dx $$

を使うと自然に処理できる。特にこの問題では $y=f(x)$ を $x$ について解く必要がなく、計算が簡潔になる。

答え

(1)

極小値は

$$ -\frac{27}{8e^3} $$

であり、これは

$$ x=e^{3/2} $$

のときにとる。極大値は存在しない。

(2)

原点を通る接線は

$$ y=0,\qquad y=-\frac{1}{e^3}x $$

である。

(3)

求める立体の体積は

$$ \frac{5\pi}{32} $$

である。