数学3 体積 問題 114 解説

方針・初手

まず、$K$ を回転してできる $K_x,\ K_y$ の形を式で表す。 $K$ は平面 $z=0$ 上の正方形

$$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1 $$

であるから、これを $x$ 軸のまわりに回転すると、$x$ 軸方向に長さ $1$、半径 $1$ の円柱になる。 同様に、$y$ 軸のまわりに回転すると、$y$ 軸方向に長さ $1$、半径 $1$ の円柱になる。

したがって

$$ K_x={(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\ y^2+z^2\le 1}, $$

$$ K_y={(x,y,z)\mid 0\le y\le 1,\ x^2+z^2\le 1} $$

と表せる。

（2）, （3） では平面 $z=t$ で切った断面を考えるのが自然である。 最後に断面積を $t$ について積分すれば体積が求まる。

解法1

（1） $K_x$ の体積

$K_x$ は半径 $1$、高さ $1$ の円柱であるから、その体積は

$$ \pi\cdot 1^2\cdot 1=\pi $$

である。

（2） 平面 $z=t$ と $K_x$ の共有点、および断面積 $A(t)$

$K_x$ の条件は

$$ 0\le x\le 1,\quad y^2+z^2\le 1 $$

である。

平面 $z=t$ 上では

$$ y^2+t^2\le 1 $$

となるので、共有点をもつための条件は

$$ t^2\le 1 $$

すなわち

$$ -1\le t\le 1 $$

である。

このとき、$y$ の範囲は

$$ -\sqrt{1-t^2}\le y\le \sqrt{1-t^2} $$

であり、$x$ は常に

$$ 0\le x\le 1 $$

である。よって断面は、$x$ 方向の長さが $1$、$y$ 方向の長さが $2\sqrt{1-t^2}$ の長方形であるから

$$ A(t)=2\sqrt{1-t^2} $$

である。

（3） 平面 $z=t$ と $L$ の共有点、および断面積 $B(t)$

$L=K_x\cap K_y$ であるから、平面 $z=t$ 上の点 $(x,y,t)$ が $L$ に属するための条件は

$$ 0\le x\le 1,\quad y^2+t^2\le 1, $$

$$ 0\le y\le 1,\quad x^2+t^2\le 1 $$

の両方を満たすことである。

したがって、まず共有点をもつ条件は

$$ t^2\le 1 $$

すなわち

$$ -1\le t\le 1 $$

である。

このとき

$$ x^2+t^2\le 1,\quad 0\le x\le 1 $$

より

$$ 0\le x\le \sqrt{1-t^2}, $$

同様に

$$ 0\le y\le \sqrt{1-t^2} $$

となる。よって断面は、$xy$ 平面内の第1象限にある一辺 $\sqrt{1-t^2}$ の正方形である。

したがって断面積は

$$ B(t)=\left(\sqrt{1-t^2}\right)^2=1-t^2 $$

である。

（4） $L$ の体積

（3） で求めた断面積を積分すればよい。

$$ \operatorname{Vol}(L)=\int_{-1}^{1}B(t),dt =\int_{-1}^{1}(1-t^2),dt $$

$$ =\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right) =\frac43 $$

したがって

$$ \operatorname{Vol}(L)=\frac43 $$

である。

（5） $M$ の体積

$M$ は $K_x$ と $K_y$ の和集合であるから、包除原理より

$$ \operatorname{Vol}(M) =\operatorname{Vol}(K_x)+\operatorname{Vol}(K_y)-\operatorname{Vol}(L) $$

である。

$K_x,\ K_y$ は対称性から同体積であり、（1） より

$$ \operatorname{Vol}(K_x)=\operatorname{Vol}(K_y)=\pi $$

だから

$$ \operatorname{Vol}(M)=\pi+\pi-\frac43=2\pi-\frac43 $$

となる。

解説

この問題の本質は、回転体を図形として眺めるだけで終わらせず、座標条件で正確に書き下すことである。

$K_x$ は

$$ 0\le x\le 1,\quad y^2+z^2\le 1 $$

で表される円柱、$K_y$ は

$$ 0\le y\le 1,\quad x^2+z^2\le 1 $$

で表される円柱である。ここまで整理できれば、平面 $z=t$ で切った断面は簡単に求まる。

特に $L=K_x\cap K_y$ では、$x\ge 0,\ y\ge 0$ が効いているため、断面が円ではなく第1象限の正方形になる点が重要である。ここを見落として断面積を誤ると、その後の体積もすべて崩れる。

答え

(1)

$$ \operatorname{Vol}(K_x)=\pi $$

(2)

平面 $z=t$ が $K_x$ と共有点をもつのは

$$ -1\le t\le 1 $$

のときであり、そのときの断面積は

$$ A(t)=2\sqrt{1-t^2} $$

である。

(3)

平面 $z=t$ が $L$ と共有点をもつのは

$$ -1\le t\le 1 $$

のときであり、そのときの断面積は

$$ B(t)=1-t^2 $$

である。

(4)

$$ \operatorname{Vol}(L)=\frac43 $$

(5)

$$ \operatorname{Vol}(M)=2\pi-\frac43 $$